1. Calcule a integral
\int_{0}^{4} \int_{x=y / 2}^{x=(y / 2)+1} \frac{2 x-y}{2} d x d y
do Exemplo 1 diretamente pela integração com relação a x e y para confirmar que seu valor é 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{x=\tfrac{y}{2}}^{x=\tfrac{y}{2}+1}\frac{2x-y}{2}\,dx\,dy
usando integração iterada em x e depois em y. O conteúdo aqui é aplicação direta de integrais simples para confirmar que o valor é 2.

Passo 2

Primeiro integramos em x. Note que
\frac{2x-y}{2}=x-\frac{y}{2},
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\int_{x=\tfrac{y}{2}}^{x=\tfrac{y}{2}+1}\frac{2x-y}{2}\,dx =\int_{y/2}^{\,y/2+1}\Bigl(x-\frac{y}{2}\Bigr)\,dx.
Calculando,
\int\Bigl(x-\frac{y}{2}\Bigr)\,dx =\frac{x^{2}}{2}-\frac{y}{2}x,
então, avaliando de x=y/2 até x=y/2+1,
\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{y}{2}x\right]_{y/2}^{\,y/2+1} =\Bigl(\frac{(y/2+1)^{2}}{2}-\frac{y}{2}(y/2+1)\Bigr) -\Bigl(\frac{(y/2)^{2}}{2}-\frac{y}{2}\cdot\frac{y}{2}\Bigr) = \frac12.

Passo 3

Agora integramos o resultado constante em y:
\int_{0}^{4}\Bigl(\tfrac12\Bigr)\,dy =\frac12\bigl[y\bigr]_{0}^{4} =\frac12\cdot4 =2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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