Calcule a integral.
integralpi / 4^pi / 3 sec theta tg theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de até . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de é . Isso significa que é a derivada de .

Passo 3

Como queremos calcular a integral de integral sec theta tan theta , dtheta = sec theta + C , podemos usar o fato que a integral de uma derivada é a própria função. Assim, temos:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites da integral definida. Ou seja, calculamos [ sec theta ]pi/4^pi/3 = sec ( pi3 ) - sec ( pi4 ) nos limites e , e subtraímos os resultados.

Passo 5

Vamos calcular os valores:
Sabemos que:
cos ( pi3 ) = 12 Rightarrow sec ( pi3 ) = 2
cos ( pi4 ) = raiz22 Rightarrow sec ( pi4 ) = raiz2

Resposta

A integral vale .

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