Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\bar{v}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x z} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = \int_{0}^{\bar v}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x z} x^{2}\,\sin y\;dy\;dz\;dx.
O conteúdo principal aqui é integração iterada e uso de substituição simples em integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Integramos primeiro em y, tratando x e z como constantes:
\int_{0}^{x z} x^{2}\,\sin y\;dy = x^{2}\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{x z} = x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr).
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I = \int_{0}^{\bar v}\int_{0}^{x} x^{2}\bigl(1-\cos(xz)\bigr)\;dz\;dx.

Passo 3

Agora integramos em z:
\int_{0}^{x}\bigl(1-\cos(xz)\bigr)\;dz = \int_{0}^{x}1\;dz \;-\;\int_{0}^{x}\cos(xz)\;dz = x \;-\;\frac{1}{x}\int_{0}^{x^{2}}\cos t\;dt = x - \frac{\sin(x^{2})}{x}.
Multiplicando por x^{2},
I = \int_{0}^{\bar v} x^{2}\Bigl(x - \frac{\sin(x^{2})}{x}\Bigr)\;dx = \int_{0}^{\bar v}\bigl(x^{3} - x\,\sin(x^{2})\bigr)\;dx.

Passo 4

Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{\bar v}x^{3}\;dx = \frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{\bar v} = \frac{\bar v^{4}}{4},
\int_{0}^{\bar v}x\,\sin(x^{2})\;dx \quad\text{(substituindo }t=x^{2},\,dt=2x\,dx\text{)} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\bar v^{2}}\sin t\;dt = -\frac{1}{2}\cos t\Big|_{0}^{\bar v^{2}} = \frac{1}{2}\bigl(1-\cos(\bar v^{2})\bigr).

Passo 5

Juntando os resultados:
I = \frac{\bar v^{4}}{4}\;-\;\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(\bar v^{2})\bigr) = \frac{\bar v^{4}}{4} + \frac{\cos(\bar v^{2})}{2} - \frac{1}{2}.

Resposta

\boxed{I = \frac{\bar v^{4}}{4} + \frac{\cos(\bar v^{2})}{2} - \frac{1}{2}}.

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