Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} \frac{z}{y+1} d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1}\int_{x=0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\frac{z}{y+1}\,dx\,dz\,dy.
O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas, aplicando a integração em cada variável na ordem dada: primeiro x, depois z e por fim y.

Passo 2

Integrando em x, como \frac{z}{y+1} independe de x, obtemos
\int_{x=0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\frac{z}{y+1}\,dx =\frac{z}{y+1}\,\Bigl[x\Bigr]_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} =\frac{z\,\sqrt{1-z^{2}}}{y+1}.

Passo 3

A integral torna-se
\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1}\frac{z\,\sqrt{1-z^{2}}}{y+1}\,dz\,dy.
Como o integrando é produto de uma função só de z e outra só de y, podemos separar:
\int_{y=0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dy\;\times\;\int_{z=0}^{1}z\,\sqrt{1-z^{2}}\,dz.

Passo 4

Calcular
\int_{z=0}^{1}z\,\sqrt{1-z^{2}}\,dz.
Use a substituição u=1-z^{2}, logo du=-2z\,dz, e os limites vão de u(0)=1 até u(1)=0. Então
\int_{z=0}^{1}z\,\sqrt{1-z^{2}}\,dz =\int_{u=1}^{0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\frac{du}{2}\Bigr) =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{\tfrac12}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.

Passo 5

Calcular
\int_{y=0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dy =\Bigl[\ln(y+1)\Bigr]_{0}^{1} =\ln2-\ln1 =\ln2.
Multiplicando os resultados das duas integrais separadas:
\frac{1}{3}\times\ln2=\frac{\ln2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln2}{3}

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