Calcule a integral iterada \int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}(2 x+y) d y d x, pela mudança para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}(2x+y)\,dy\,dx
utilizando a mudança para coordenadas polares. O conteúdo é integração dupla por transformação de variáveis e vamos precisar descrever a região em polares, substituir x, y e o Jacobiano, e por fim calcular as integrais.

Passo 2

A região D em coordenadas cartesianas é
D=\{(x,y)\mid -3\le x\le3,\\\ 0\le y\le\sqrt{9-x^{2}}\},
que corresponde ao semicírculo de raio 3 sobre o eixo x. Em coordenadas polares (r,\theta) temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
e as condições x^{2}+y^{2}\le9 e y\ge0 viram
0\le r\le3,\quad 0\le\theta\le\pi.

Passo 3

Fazendo a mudança de variáveis:
dA = dy\,dx = r\,dr\,d\theta,
e o integrando
2x+y = 2r\cos\theta + r\sin\theta.
Portanto a integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3}\bigl(2r\cos\theta+r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\bigl(2r^{2}\cos\theta+r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{3}\bigl(2r^{2}\cos\theta+r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr =2\cos\theta\int_{0}^{3}r^{2}\,dr+\sin\theta\int_{0}^{3}r^{2}\,dr.
Como
\int_{0}^{3}r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{3}=9,
temos
2\cos\theta\cdot9 + \sin\theta\cdot9 = 9\bigl(2\cos\theta+\sin\theta\bigr).

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}9\bigl(2\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,d\theta =9\Bigl[2\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta \;+\;\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr].
Sabemos
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = (-\cos\theta)\Big|_{0}^{\pi}=2.
Logo
9\bigl(2\cdot0+2\bigr)=9\cdot2=18.

Resposta

O valor da integral é 18.

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