Calcule a integral iterada \int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}(2 x+y) d y d x, pela mudança para coordenadas polares. Passo 1O enunciado pede para calcular \int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}(2x+y)\,dy\,dx utilizando a mudança para coordenadas polares. O conteúdo é integração dupla por transformação de variáveis e vamos precisar descrever a região em polares, substituir x, y e o Jacobiano, e por fim calcular as integrais. Passo 2A região D em coordenadas cartesianas é D=\{(x,y)\mid -3\le x\le3,\\\ 0\le y\le\sqrt{9-x^{2}}\}, que corresponde ao semicírculo de raio 3 sobre o eixo x. Em coordenadas polares (r,\theta) temos x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta, e as condições x^{2}+y^{2}\le9 e y\ge0 viram 0\le r\le3,\quad 0\le\theta\le\pi. Passo 3Fazendo a mudança de variáveis: dA = dy\,dx = r\,dr\,d\theta, e o integrando 2x+y = 2r\cos\theta + r\sin\theta. Portanto a integral fica \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3}\bigl(2r\cos\theta+r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\bigl(2r^{2}\cos\theta+r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta. Passo 4Calcular a integral interna em r: \int_{0}^{3}\bigl(2r^{2}\cos\theta+r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr =2\cos\theta\int_{0}^{3}r^{2}\,dr+\sin\theta\int_{0}^{3}r^{2}\,dr. Como \int_{0}^{3}r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{3}=9, temos 2\cos\theta\cdot9 + \sin\theta\cdot9 = 9\bigl(2\cos\theta+\sin\theta\bigr). Passo 5Agora integramos em \theta: \int_{0}^{\pi}9\bigl(2\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,d\theta =9\Bigl[2\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta \;+\;\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr]. Sabemos \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = (-\cos\theta)\Big|_{0}^{\pi}=2. Logo 9\bigl(2\cdot0+2\bigr)=9\cdot2=18. RespostaO valor da integral é 18. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcular a área do conjunto R de todos (x, y) tais que \ln x \leq y \leq 1+\ln x, y \geq 0 e x \leq e. Calcular a área do conjunto R de todos (x, y) tais que \ln x \leq y \leq 1+\ln x, y \geq 0 e x \leq e. Utilize coordenadas polares para calcular \int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.