Calcule a integral iterada.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla interpretando que a variável intermediária não aparece no integrando e que houve um pequeno erro de digitação no enunciado. O conteúdo aqui é integração iterada, incluindo integração direta e por partes. Precisamos usar: integração de uma função que não depende de uma das variáveis (para simplificar), integração de
e, por fim, integrar em
usando integração por partes.
Passo 2
Observando a integral em
:
Como a variável intermediária (digamos
) não aparece no integrando, a integral em
é trivial:
Passo 3
Agora reduzimos a integral tripla a uma integral simples em
:
Passo 4
Calcular cada parte separadamente. Primeiro,
Para a segunda parte, usamos integração por partes em
. Seja
e
. Então
e
. Assim,
Passo 5
Repetimos por partes em
, com
e
, obtendo
Logo (\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos x,dx = -2\pi.\
Passo 6
Juntando as partes,
[\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-\cos x),dx = \frac{\pi^{3}}{3} - (-2\pi) = \frac{\pi^{3}}{3} + 2\pi.