Calcule a integral iterada.
integral0^pi integral0^1 integral0^x x^2 sen y d y d x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla interpretando que a variável intermediária não aparece no integrando e que houve um pequeno erro de digitação no enunciado. O conteúdo aqui é integração iterada, incluindo integração direta e por partes. Precisamos usar: integração de uma função que não depende de uma das variáveis (para simplificar), integração de sin y e, por fim, integrar em x usando integração por partes.

Passo 2

Observando a integral em y:
integral0^x sin y,dy = [-cos y]0^x = 1 - cos x
Como a variável intermediária (digamos z) não aparece no integrando, a integral em z é trivial:
integral0^1 x^2(1 - cos x),dz = x^2(1 - cos x) times 1 = x^2(1 - cos x)

Passo 3

Agora reduzimos a integral tripla a uma integral simples em x:
integral0^pi x^2(1 - cos x),dx = integral0^pi x^2,dx - integral0^pi x^2cos x,dx

Passo 4

Calcular cada parte separadamente. Primeiro,
integral0^pi x^2,dx = l[x^33r]0^pi = pi^33
Para a segunda parte, usamos integração por partes em integral0^pi x^2cos x,dx. Seja u = x^2 e dv = cos x,dx. Então du=2x,dx e v=sin x. Assim,
integral0^pi x^2cos x,dx = [x^2sin x]0^pi - integral0^pi2xsin x,dx = -2 integral0^pi xsin x,dx

Passo 5

Repetimos por partes em integral0^pi xsin x,dx, com u=x e dv=sin x,dx, obtendo
integral0^pi xsin x,dx = [-xcos x]0^pi + integral0^picos x,dx = pi + 0 = pi
Logo (\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos x,dx = -2\pi.\

Passo 6

Juntando as partes,
[\int_{0}^{\pi} x^{2}(1-\cos x),dx = \frac{\pi^{3}}{3} - (-2\pi) = \frac{\pi^{3}}{3} + 2\pi.

Resposta

pi^33 + 2pi

Exercícios relacionados