Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^2 x integral0^1 2 x y z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada de 2xyz no domínio dado por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2x e 0 <= z <= 1. O conteúdo é integração iterada de funções de várias variáveis e vamos usar o teorema de Fubini para integrar sucessivamente em z, y e x.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a z, tratando x e y como constantes. Temos:
integral0^1 2xyz,dz = 2xy cdot integral0^1 z,dz = 2xy cdot [z^22]0^1 = 2xy cdot 12 = xy

Passo 3

Em seguida, integramos o resultado xy em relação a y, de y=0 até y=2x:
integral0^2x xy,dy = x cdot integral0^2x y,dy = x cdot [y^22]0^2x = x cdot (2x)^22 = x cdot 4x^22 = 2x^3

Passo 4

Por fim, integramos 2x^3 em relação a x, de x=0 até x=1:
integral0^1 2x^3,dx = 2 cdot [x^44]0^1 = 2 cdot 14 = 12

Resposta

tfrac12

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