Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
4.
consiste no arco da parábola
de
a
e os segmentos de reta de
a
e de
a
4.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é a curva fechada formada por três pedaços:
- arco da parábola
de a , - segmento de reta de
a , - segmento de reta de
a .
Temos o campocom
Vamos calcular (a) diretamente por parametrização de cada trecho e (b) usando o Teorema de Green:
Passo 2
Cálculo direto por parametrização:
Trecho 1 (parábola):
Então
e
Trecho 2 (reta de
a
):
Logo
Trecho 3 (reta de
a
):
então a integral é zero.
Somando:
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green sobre a região
limitada por
:
Calculemos
então
Em coordenadas
:
Primeiro o
:
logo
Resposta
Em ambos os métodos a integral vale