Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
4. \quad \oint_{C} x^{2} y^{2} d x+x y d y, \quad C consiste no arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1) e os segmentos de reta de (1,1) a (0,1) e de (0,1) a (0,0)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx + x y\,dy
onde C é a curva fechada formada por três pedaços:
  1. arco da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1),
  2. segmento de reta de (1,1) a (0,1),
  3. segmento de reta de (0,1) a (0,0).
    Temos o campo \bigl(P,Q\bigr) com
P(x,y)=x^2y^2, \qquad Q(x,y)=xy.
Vamos calcular (a) diretamente por parametrização de cada trecho e (b) usando o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.

Passo 2

Cálculo direto por parametrização:
Trecho 1 (parábola):
x=t,\quad y=t^2,\quad t\in[0,1], \quad dx=dt,\quad dy=2t\,dt.
Então
P\,dx = t^2\,(t^2)^2\,dt = t^6\,dt, \quad Q\,dy = t\cdot t^2\cdot 2t\,dt = 2t^4\,dt,
e
\int_{0}^{1}(t^6+2t^4)\,dt = \Bigl[\tfrac{t^7}{7}+\tfrac{2t^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{7}+\tfrac{2}{5} = \tfrac{19}{35}.
Trecho 2 (reta de (1,1) a (0,1)):
x=t,\;y=1,\;t\in[1,0],\;dx=dt,\;dy=0.
Logo
\int_{1}^{0}x^2y^2\,dx = \int_{1}^{0}t^2\,dt = -\int_{0}^{1}t^2\,dt = -\tfrac{1}{3}.
Trecho 3 (reta de (0,1) a (0,0)):
x=0\implies P\,dx=0,\;Q\,dy=0,
então a integral é zero.
Somando:
\tfrac{19}{35}-\tfrac{1}{3} = \tfrac{19\cdot3 - 35\cdot1}{105} = \tfrac{57-35}{105} = \tfrac{22}{105}.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green sobre a região R limitada por C:
Calculemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2x^2y,
então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = y - 2x^2y = y\,(1-2x^2).
Em coordenadas x\in[0,1],\,y\in[x^2,1]:
\iint_{R}y(1-2x^2)\,dA = \int_{0}^{1}\!\int_{x^2}^{1}y(1-2x^2)\,dy\,dx.
Primeiro o y:
\int_{x^2}^{1}y\,dy = \Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{x^2}^{1} = \tfrac12 - \tfrac{x^4}{2}
logo
\int_{0}^{1}(1-2x^2)\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{x^4}{2}\Bigr)\,dx = \tfrac12\int_{0}^{1}(1-2x^2)(1-x^4)\,dx = \tfrac{22}{105}.

Resposta

Em ambos os métodos a integral vale
\boxed{\frac{22}{105}}.

Exercícios relacionados