Use a primeira identidade de Green para mostrar que se f for harmônica em D, e se f(x, y)=0 na curva limite C, então \iint_{D}|\nabla f|^{2} d A=0. (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses que no Exercício 33.)

Passo 1

O enunciado diz que f é harmônica em uma região D de contorno suave C e que f(x,y)=0 sobre toda a curva C. Queremos mostrar que
\iint_{D} |\nabla f|^2 \,dA = 0.
Para isso vamos usar a primeira identidade de Green, que relaciona integrais de domínio com integrais de contorno.

Passo 2

A primeira identidade de Green afirma, para funções suficientemente suaves u e v,
\iint_{D} \bigl(u\,\Delta v + \nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA =\oint_{C} u\,\frac{\partial v}{\partial n}\,ds.
Escolhendo u=v=f, obtemos
\iint_{D} \bigl(f\,\Delta f + \nabla f\cdot\nabla f\bigr)\,dA =\oint_{C} f\,\frac{\partial f}{\partial n}\,ds.
Mas como f é harmônica em D, temos \Delta f=0, e como f=0 em C, o integrando de contorno também zera. Logo sobra
\iint_{D} |\nabla f|^2\,dA = 0.

Passo 3

O integrando |\nabla f|^2 é sempre não‐negativo, e sua integral sobre D é zero, o que implica que \nabla f = 0 em D. Assim, f é constante em D. Como f=0 na fronteira C, segue que f\equiv0 em todo D.

Resposta

\iint_{D}|\nabla f|^{2}\,dA = 0.

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