Calcule a integral de linha
, onde
é parametrizada por
.
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Campo vetorial
. - Curva
parametrizada por , com variando em .
O que se pede: calcular a integral de linhaao longo da curva com a parametrização dada.
Passo 2
Fórmula prática que vamos usar (definição de integral de linha por parametrização):
onde
e
são os extremos do parâmetro
. Explicando cada peça:
-
é a derivada componente a componente da parametrização (vetor velocidade). -
é o campo avaliado nos pontos da curva (substituir pelas componentes de ). - O produto ponto entre esses dois vetores dá a função escalar que integrarmos no intervalo de
.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente de
:
Isto significa que em cada
o vetor tangente/velocidade é
.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja, substituir
,
,
em
:
(Observação: o valor de
foi obtido da parametrização,
.)
Passo 5
Fazer o produto escalar
. Multiplica-se componente a componente e soma:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Encontrar a primitiva:
. Avaliando nos limites,