Calcule a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \gamma é parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}-z \vec{j}+y \vec{k}, \vec{r}(t)=2 t \vec{i}+3 t \vec{j}-t^{2} \vec{k},-1 \leq t \leq 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}-z\,\vec{j}+y\,\vec{k}.
  • Curva \gamma parametrizada por \vec{r}(t)=2t\,\vec{i}+3t\,\vec{j}-t^{2}\,\vec{k}, com t variando em [-1,0].
    O que se pede: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva com a parametrização dada.

Passo 2

Fórmula prática que vamos usar (definição de integral de linha por parametrização):
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt,
onde a=-1 e b=0 são os extremos do parâmetro t. Explicando cada peça:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente da parametrização (vetor velocidade).
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo \vec{F} avaliado nos pontos da curva (substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)).
  • O produto ponto entre esses dois vetores dá a função escalar que integrarmos no intervalo de t.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando cada componente de \vec{r}(t)=\langle 2t,\,3t,\,-t^{2}\rangle:
\vec{r}\,'(t)=\langle 2,\,3,\,-2t\rangle.
Isto significa que em cada t o vetor tangente/velocidade é \langle 2,3,-2t\rangle.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, ou seja, substituir x=2t, y=3t, z=-t^{2} em \vec{F}(x,y,z)=\langle x,\,-z,\,y\rangle:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\langle 2t,\; -(-t^{2}),\; 3t\rangle=\langle 2t,\; t^{2},\; 3t\rangle.
(Observação: o valor de z foi obtido da parametrização, z=-t^{2}.)

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t). Multiplica-se componente a componente e soma:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=(2t)(2)+(t^{2})(3)+(3t)(-2t).
Calculemos termo a termo:
(2t)(2)=4t,\qquad (t^{2})(3)=3t^{2},\qquad (3t)(-2t)=-6t^{2}.
Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=4t+3t^{2}-6t^{2}=4t-3t^{2}.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[-1,0]:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{-1}^{0}\bigl(4t-3t^{2}\bigr)\,dt.
Encontrar a primitiva: \displaystyle \int(4t-3t^{2})\,dt=2t^{2}-t^{3}. Avaliando nos limites,
\left[2t^{2}-t^{3}\right]_{-1}^{0}=0-\bigl(2\cdot 1-(-1)\bigr)=0-(2+1)=0-3.

Resposta

-3

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