Calcule a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \gamma é parametrizada por \vec{r}(t).
\vec{F}(x, y)=y \vec{i}-x \vec{j}, \gamma é o arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4 percorrido no sentido horário desde (2,0) até (0,-2).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=y\,\vec{i}-x\,\vec{j}.
  • Curva \gamma: arco da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, (raio 2) que vai de (2,0) até (0,-2) percorrida no sentido horário.
  • Pedido: calcular a integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Escolher uma parametrização adequada para o arco. Para uma circunferência de raio 2 centrada na origem, a parametrização padrão é
\vec{r}(t) = \bigl(2\cos t,\,2\sin t\bigr).
Precisamos ajustar os limites de t para que \vec{r}(t) comece em (2,0) e termine em (0,-2) seguindo o sentido horário.
  • Em t=0 temos \vec{r}(0)=(2\cos0,2\sin0)=(2,0) — corresponde ao ponto inicial.
  • O ponto (0,-2) ocorre quando \cos t=0 e \sin t=-1, isto é em t=-\dfrac{\pi}{2} (ou equivalentemente t=\dfrac{3\pi}{2}). Para preservar o sentido horário usamos o intervalo que faz t diminuir de 0 até -\dfrac{\pi}{2}.
Portanto escolhemos a parametrização
\vec{r}(t)=\bigl(2\cos t,\,2\sin t\bigr),\qquad t\in\left[0,\,-\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Recordando a fórmula prática da integral de linha para um campo vetorial: se \vec{r}(t) parametriza \gamma para t\in[a,b], então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt.
Agora vamos calcular \vec{r}\,'(t) e \vec{F}(\vec{r}(t)).
  • Derivada da parametrização:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-2\sin t,\,2\cos t\bigr).
  • Avaliando o campo em \vec{r}(t):
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(2\sin t,\,-2\cos t\bigr),
pois y=2\sin t e x=2\cos t.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\begin{aligned} \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{r}\,'(t) &= \bigl(2\sin t\bigr)\cdot\bigl(-2\sin t\bigr) + \bigl(-2\cos t\bigr)\cdot\bigl(2\cos t\bigr)\\[4pt] &= -4\sin^{2}t -4\cos^{2}t\\[4pt] &= -4\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr)\\[4pt] &= -4, \end{aligned}
usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integral de linha com os limites t=0 até t=-\dfrac{\pi}{2}:
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{-\pi/2} (-4)\,dt.
Como o integrando é constante, a integral é fácil:
\int_{0}^{-\pi/2} (-4)\,dt = -4\biggl(-\dfrac{\pi}{2}-0\biggr) = -4\Bigl(-\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=2\pi.

Passo 6

Interpretação breve e dica para prova: aqui o produto escalar resultou numa constante -4, o que simplificou muito. Sempre que parametrizar circunferências com \vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t) cheque os limites de t cuidadosamente para respeitar o sentido (horário corresponde geralmente a t decrescendo). Outra abordagem seria parametrizar com t aumentando e inverter o sinal final; os resultados coincidem se a orientação for tratada corretamente.

Resposta

2\pi

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