Calcule a integral de linha
, onde
é parametrizada por
.
,
é o arco de circunferência
percorrido no sentido horário desde
até
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Campo vetorial:
. - Curva
: arco da circunferência , (raio ) que vai de até percorrida no sentido horário. - Pedido: calcular a integral de linha
.
Passo 2
Escolher uma parametrização adequada para o arco. Para uma circunferência de raio
centrada na origem, a parametrização padrão é
Precisamos ajustar os limites de
para que
comece em
e termine em
seguindo o sentido horário.
- Em
temos — corresponde ao ponto inicial. - O ponto
ocorre quando e , isto é em (ou equivalentemente ). Para preservar o sentido horário usamos o intervalo que faz diminuir de até .
Portanto escolhemos a parametrização
Passo 3
Recordando a fórmula prática da integral de linha para um campo vetorial: se
parametriza
para
, então
Agora vamos calcular
e
.
- Derivada da parametrização:
- Avaliando o campo em
:
pois
e
.
Passo 4
Calcular o produto escalar
:
usando a identidade trigonométrica
.]
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da integral de linha com os limites
até
:
Como o integrando é constante, a integral é fácil:
Passo 6
Interpretação breve e dica para prova: aqui o produto escalar resultou numa constante
, o que simplificou muito. Sempre que parametrizar circunferências com
cheque os limites de
cuidadosamente para respeitar o sentido (horário corresponde geralmente a
decrescendo). Outra abordagem seria parametrizar com
aumentando e inverter o sinal final; os resultados coincidem se a orientação for tratada corretamente.