Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y z d y+x y d z, C: x=raizt, y=t, z=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha! A questão pede para calcular a integral onde a curva é definida pelas equações paramétricas , e , com variando de 0 a 1. Para isso, vamos usar a parametrização da curva e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar a curva. Aqui, define a posição em cada ponto da curva conforme varia de 0 a 1. Precisamos expressar e em termos de .

Passo 3

Calculando as derivadas em relação a dy = dydt , dt = 1 cdot dt = dt :
dz = dzdt , dt = 2t cdot dt
integralC y z , dy + x y , dz = integral0^1 t cdot t^2 cdot dt + raizt cdot t cdot 2t , dt
Agora, substituímos , , , e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^1 t^3 , dt + integral0^1 2 t^2 raizt , dt = integral0^1 t^3 , dt + integral0^1 2 t^5/2 , dt
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^1 t^3 , dt = [ t^44 ]0^1 = 14
integral0^1 2 t^5/2 , dt = 2 [ t^7/272 ]0^1 = 2 cdot 27 = 47
Somando os resultados:
14 + 47 = 7 + 1628 = 2328

Resposta

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