a) x'' + 4x = sen(t), x(0) = 0 e dot(x)(0) = 0;
b) dot(x) + 4 x = cos(t), x(0) = 0;
c) dot(x) - 3 x = t + e^(t), x(0) = 0;
d) \ddot{x} + 2 \dot{x} + x = t + e^{t}, x(0) = \dot{x}(0) = 0;
e) x'' + 4x = cos(2t), x(0) = x'(0) = 0;
f) d^2x/dt^2 + 4x = e^t sen(t), x(0) = 0, dx(0)/dt = 0.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo . Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica .

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas ( e ), a solução da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que não é solução da equação homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:

Passo 9

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 10

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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