Calcule: integral sen 7 x cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral integral sin 7x cos 2x , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve produtos de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno:
sin A cos B = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Essa identidade nos permite transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de funções seno, que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com A = 7x e B = 2x, temos:
sin 7x cos 2x = 12 [sin(7x + 2x) + sin(7x - 2x)] = 12 [sin 9x + sin 5x]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin 7x cos 2x , dx = integral 12 (sin 9x + sin 5x) , dx
Podemos fatorar o 12 para facilitar a integração:
= 12 integral (sin 9x + sin 5x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 ( integral sin 9x , dx + integral sin 5x , dx )
A integral de sin kx em relação a x é -1k cos kx.

Passo 6

Aplicando a regra de integração:
= 12 ( -19 cos 9x - 15 cos 5x ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
= -118 cos 9x - 110 cos 5x + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac118 cos 9x - dfrac110 cos 5x + C.

Exercícios relacionados