© todo plano tangente ao cone x² + y² = z² passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que todo plano tangente ao cone passa pela origem. Isso significa que, se a gente pegar qualquer plano que toque o cone sem cortá-lo, esse plano vai sempre passar pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente a uma superfície. Um plano tangente em um ponto da superfície é aquele que “aperta” a superfície nesse ponto sem cortar. Para encontrar a equação de um plano tangente, a gente precisa usar derivadas parciais ou a fórmula geral do plano tangente.

Passo 3

Vamos usar a fórmula geral do plano tangente. Para uma superfície dada por , o plano tangente no ponto é dado por:
onde , e são as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

No nosso caso, a superfície é o cone . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, consideremos um ponto qualquer no cone, ou seja, que satisfaz . Substituindo na fórmula do plano tangente:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Como , podemos substituir:
Dividindo tudo por 2:

Passo 7

Agora, vamos verificar se a origem está nesse plano. Substituindo , e na equação do plano:
Isso resulta em:
O que é sempre verdadeiro. Isso significa que a origem está no plano tangente.

Resposta

Assim, mostramos que todo plano tangente ao cone passa pela origem.

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