© todo plano tangente ao cone
passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que todo plano tangente ao cone
passa pela origem. Isso significa que, se a gente pegar qualquer plano que toque o cone sem cortá-lo, esse plano vai sempre passar pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente a uma superfície. Um plano tangente em um ponto da superfície é aquele que “aperta” a superfície nesse ponto sem cortar. Para encontrar a equação de um plano tangente, a gente precisa usar derivadas parciais ou a fórmula geral do plano tangente.
Passo 3
Vamos usar a fórmula geral do plano tangente. Para uma superfície dada por
, o plano tangente no ponto
é dado por:
onde
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
No nosso caso, a superfície é o cone
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, consideremos um ponto qualquer
no cone, ou seja, que satisfaz
. Substituindo na fórmula do plano tangente:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Como
, podemos substituir:
Dividindo tudo por 2:
Passo 7
Agora, vamos verificar se a origem
está nesse plano. Substituindo
,
e
na equação do plano:
Isso resulta em:
O que é sempre verdadeiro. Isso significa que a origem está no plano tangente.
Resposta
Assim, mostramos que todo plano tangente ao cone
passa pela origem.