Calcule.
(a) integral sen^3(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de sen^3(x) , dx. Isso faz parte do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada de redução de potências e a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a aplicação das fórmulas trigonométricas. Podemos separar uma potência de sen(x) da integral. Assim:
integral sen^3(x) , dx = integral sen^2(x) cdot sen(x) , dx

Passo 3

Agora, sabemos que sen^2(x) pode ser substituído usando a identidade trigonométrica:
sen^2(x) = 1 - cos^2(x)
Então, substituindo na integral:
integral sen^3(x) , dx = integral (1 - cos^2(x)) cdot sen(x) , dx

Passo 4

Vamos então expandir a integral:
integral sen(x) , dx - integral cos^2(x) cdot sen(x) , dx

Passo 5

A primeira integral é simples de resolver:
integral sen(x) , dx = -cos(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para a segunda integral, vamos usar a substituição. Vamos definir:
u = cos(x) dudx = -sen(x) -,du = sen(x) , dx
Substituindo na integral:
- integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3(x)3 + C

Passo 7

Agora, juntando tudo:
integral sen^3(x) , dx = -cos(x) - cos^3(x)3 + C
Podemos fatorar o -cos(x):
= -cos(x) (1 + cos^2(x)3) + C

Resposta

Assim, a integral de sen^3(x) , dx é:
integral sen^3(x) , dx = -cos(x) - cos^3(x)3 + C

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