Calcule as seguintes integrais.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com integração de produtos de funções trigonométricas, especificamente cossenos com diferentes múltiplos do ângulo
. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de dois cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em uma soma:
Nesse caso, temos
e
. Vamos aplicar essa identidade na nossa integral.
Passo 3
Aplicando a identidade, temos:
Sabemos que
porque o cosseno é uma função par. Então, simplificamos para:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na nossa integral original:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
em relação a
é
.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro, avaliando
de
a
:
Porque
para qualquer inteiro
.
Passo 8
Agora, avaliando
de
a
:
Porque
e
.
Passo 9
Agora, juntando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é
.