Calcule a integral de superficie
\iint_{S} y d S, S é o helicoide com equação vetorial \mathbf{r}(u, v)=\langle u \cos v, u \sin v, v\rangle, 0 \leq u \leq 4,0 \leq v \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} y\,dS,
onde S é o helicoide parametrizado por
\mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;v\rangle, \qquad 0\le u\le 4,\;0\le v\le \pi.
Informações dadas:
  • A parametrização \mathbf{r}(u,v) do helicoide foi fornecida.
  • O domínio de parâmetros é o retângulo [0,4]\times[0,\pi].
    O que se pede:
  • Calcular \iint_{S} y\,dS usando a parametrização dada.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos aplicar). Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) definida no domínio D em (u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é
\iint_{S} f\,dS \;=\; \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv.
Aqui:
  • \mathbf{r}_u=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} e \mathbf{r}_v=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}.
  • \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v é o produto vetorial; sua norma dá a área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que é o fator de densidade de área na mudança de variáveis.
Vamos aplicar essa fórmula com f(x,y,z)=y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v.
A parametrização é \mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;v\rangle. Derivando:
\mathbf{r}_u=\left\langle \frac{\partial}{\partial u}(u\cos v),\;\frac{\partial}{\partial u}(u\sin v),\;\frac{\partial}{\partial u}v\right\rangle =\langle \cos v,\;\sin v,\;0\rangle.
\mathbf{r}_v=\left\langle \frac{\partial}{\partial v}(u\cos v),\;\frac{\partial}{\partial v}(u\sin v),\;\frac{\partial}{\partial v}v\right\rangle =\langle -u\sin v,\;u\cos v,\;1\rangle.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v componente a componente usando o determinante:
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos v & \sin v & 0 \\\\ - u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix}.
Compute cada componente:
  • Componente em \mathbf{i}: \sin v\cdot 1 - 0\cdot(u\cos v)=\sin v.
  • Componente em \mathbf{j}: -\big(\cos v\cdot 1 - 0\cdot(-u\sin v)\big) = -\cos v.
  • Componente em \mathbf{k}: \cos v\cdot (u\cos v) - \sin v\cdot(-u\sin v)=u(\cos^2 v+\sin^2 v)=u.
    Portanto
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=\langle \sin v,\; -\cos v,\; u\rangle.

Passo 5

Calcular a norma do produto vetorial:
\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| =\sqrt{(\sin v)^2+(-\cos v)^2+u^2} =\sqrt{\sin^2 v+\cos^2 v + u^2}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 v+\cos^2 v=1, temos
\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|=\sqrt{1+u^2}.
Isso é ótimo: a norma não depende de v, só de u.

Passo 6

Escrever o integrando f(\mathbf{r}(u,v)). Como f(x,y,z)=y e a imagem tem y=u\sin v, temos
f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)=u\sin v.
Substituindo na fórmula da integral de superfície:
\iint_{S} y\,dS = \int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{4} \big(u\sin v\big)\,\sqrt{1+u^2}\; du\; dv.

Passo 7

Observar que a integral é separável: o fator \sin v depende só de v e u\sqrt{1+u^2} depende só de u. Logo podemos fatorar:
\int_{v=0}^{\pi}\int_{u=0}^{4} u\sin v\sqrt{1+u^2}\; du\; dv = \left(\int_{v=0}^{\pi}\sin v\; dv\right)\left(\int_{u=0}^{4} u\sqrt{1+u^2}\; du\right).

Passo 8

Calcular a integral em v:
\int_{0}^{\pi}\sin v\; dv = \big[-\cos v\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1) -(-1)=2.

Passo 9

Calcular a integral em u:
Fazer a substituição t=1+u^2. Então dt=2u\,du ou u\,du=\dfrac{dt}{2}.
Os limites mudam: u=0\Rightarrow t=1, u=4\Rightarrow t=1+16=17.
Portanto
\int_{0}^{4} u\sqrt{1+u^2}\; du = \int_{t=1}^{17} \sqrt{t}\;\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{17} t^{1/2}\;dt.
Integrando:
\frac{1}{2}\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{17} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\big(t^{3/2}\big)\Big|_{1}^{17} = \frac{1}{3}\big(17^{3/2}-1^{3/2}\big) = \frac{1}{3}\big(17^{3/2}-1\big).

Passo 10

Multiplicar os resultados das duas integrais:
\iint_{S} y\,dS = \left(\int_{0}^{\pi}\sin v\,dv\right)\left(\int_{0}^{4} u\sqrt{1+u^2}\,du\right) = 2\cdot \frac{1}{3}\big(17^{3/2}-1\big) = \frac{2}{3}\big(17^{3/2}-1\big).
Opcionalmente, escrever 17^{3/2}=17\sqrt{17}, então a resposta fica \dfrac{2}{3}\big(17\sqrt{17}-1\big).

Resposta

\dfrac{2}{3}\big(17^{3/2}-1\big)

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