Calcule a integral de superficie \iint_{S} y d S, S é o helicoide com equação vetorial \mathbf{r}(u, v)=\langle u \cos v, u \sin v, v\rangle, 0 \leq u \leq 4,0 \leq v \leq \pi
A parametrização \mathbf{r}(u,v) do helicoide foi fornecida.
O domínio de parâmetros é o retângulo [0,4]\times[0,\pi].
O que se pede:
Calcular \iint_{S} y\,dS usando a parametrização dada.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos aplicar). Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) definida no domínio D em (u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é
\mathbf{r}_u=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} e \mathbf{r}_v=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}.
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v é o produto vetorial; sua norma dá a área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v, que é o fator de densidade de área na mudança de variáveis.
Vamos aplicar essa fórmula com f(x,y,z)=y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v.
A parametrização é \mathbf{r}(u,v)=\langle u\cos v,\;u\sin v,\;v\rangle. Derivando:
Calcular a integral em u:
Fazer a substituição t=1+u^2. Então dt=2u\,du ou u\,du=\dfrac{dt}{2}.
Os limites mudam: u=0\Rightarrow t=1, u=4\Rightarrow t=1+16=17.
Portanto
\int_{0}^{4} u\sqrt{1+u^2}\; du = \int_{t=1}^{17} \sqrt{t}\;\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{17} t^{1/2}\;dt.