Seja
um operador linear. Mostre que se todo vetor de
for autovetor de
, então existe um
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dado um espaço vetorial
sobre um corpo . - Dado um operador linear
. - Hipótese: todo vetor de
é autovetor de . (Interpretação natural: todo vetor não-nulo de é autovetor; o vetor automaticamente satisfaz .) - O que se pede: mostrar que existe um escalar
tal que
Passo 2
Casos triviais primeiro — o espaço nulo. Se
(o espaço zero), então
. Nesse caso qualquer
satisfaz
. Assim, para
a afirmação é verdadeira (por exemplo, escolher
funciona). Agora vamos assumir que
não é o espaço zero.
Passo 3
Caso
. Se
então existe um vetor
que gera
, isto é, todo
pode ser escrito como
para algum
. Pela hipótese,
é autovetor, então existe
tal que
Usando linearidade de
, para qualquer
temos
Logo, no caso unidimensional também existe
com
para todo
.
Passo 4
Caso
. Escolha dois vetores linearmente independentes
e
em
. Pela hipótese, existem escalares
tais que
Considere o vetor
. Pela hipótese,
também é autovetor, logo existe
com
Pelo fato de
ser linear,
Então igualando as duas expressões para
obtemos
Reescrevendo,
Como
e
são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
Logo
. Conclusão: os autovalores associados a
e a
são iguais.
Passo 5
Propagando a igualdade para toda uma base. Do passo anterior segue que quaisquer dois vetores linearmente independentes têm o mesmo autovalor. Escolha uma base
de
(como
isso faz sentido). Pela hipótese cada
é autovetor, digamos
. Pelas observações, para quaisquer
com
tem-se
. Portanto existe um único escalar
tal que
Agora, dado qualquer
, escreva
com
. Pela linearidade de
e pela propriedade dos
,
Assim
para todo
.
Passo 6
Conclusão final e comentário didático. Reunindo os casos: se
qualquer
funciona; se
mostramos explicitamente que todos os vetores não-nulos compartilham o mesmo autovalor
e, pela linearidade,
atua como multiplicação escalar por
em todo
. Intuição: se todo vetor é autovetor, não há “direção” em que
possa agir de forma diferente — a única possibilidade linear é simplesmente esticar/contrair todas as direções pela mesma razão
.
Resposta
Existe
tal que
para todo
.