Seja T: V \rightarrow V um operador linear. Mostre que se todo vetor de V for autovetor de T, então existe um \lambda \in \mathbb{K} tal que T(v)=\lambda v, \forall v \in V.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dado um espaço vetorial V sobre um corpo \mathbb{K}.
  • Dado um operador linear T: V \to V.
  • Hipótese: todo vetor de V é autovetor de T. (Interpretação natural: todo vetor não-nulo de V é autovetor; o vetor 0 automaticamente satisfaz T(0)=0.)
  • O que se pede: mostrar que existe um escalar \lambda \in \mathbb{K} tal que
T(v)=\lambda v,\quad \forall v\in V.

Passo 2

Casos triviais primeiro — o espaço nulo. Se V=\{0\} (o espaço zero), então T(0)=0. Nesse caso qualquer \lambda\in\mathbb{K} satisfaz T(0)=\lambda 0. Assim, para V=\{0\} a afirmação é verdadeira (por exemplo, escolher \lambda=0 funciona). Agora vamos assumir que V não é o espaço zero.

Passo 3

Caso \dim V=1. Se \dim V=1 então existe um vetor v\neq0 que gera V, isto é, todo x\in V pode ser escrito como x=\alpha v para algum \alpha\in\mathbb{K}. Pela hipótese, v é autovetor, então existe \lambda\in\mathbb{K} tal que
T(v)=\lambda v.
Usando linearidade de T, para qualquer x=\alpha v temos
T(x)=T(\alpha v)=\alpha T(v)=\alpha \lambda v=\lambda(\alpha v)=\lambda x.
Logo, no caso unidimensional também existe \lambda com T(x)=\lambda x para todo x\in V.

Passo 4

Caso \dim V\ge 2. Escolha dois vetores linearmente independentes v e w em V. Pela hipótese, existem escalares a,b\in\mathbb{K} tais que
T(v)=a v,\qquad T(w)=b w.
Considere o vetor v+w. Pela hipótese, v+w também é autovetor, logo existe c\in\mathbb{K} com
T(v+w)=c(v+w)=c v + c w.
Pelo fato de T ser linear,
T(v+w)=T(v)+T(w)=a v + b w.
Então igualando as duas expressões para T(v+w) obtemos
a v + b w = c v + c w.
Reescrevendo,
(a-c) v + (b-c) w = 0.
Como v e w são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
a-c=0,\qquad b-c=0.
Logo a=c=b. Conclusão: os autovalores associados a v e a w são iguais.

Passo 5

Propagando a igualdade para toda uma base. Do passo anterior segue que quaisquer dois vetores linearmente independentes têm o mesmo autovalor. Escolha uma base \{e_1,\dots,e_n\} de V (como \dim V\ge1 isso faz sentido). Pela hipótese cada e_i é autovetor, digamos T(e_i)=\lambda_i e_i. Pelas observações, para quaisquer i,j com i\neq j tem-se \lambda_i=\lambda_j. Portanto existe um único escalar \lambda tal que
T(e_i)=\lambda e_i\quad\text{para todo }i.
Agora, dado qualquer x\in V, escreva x=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i com \alpha_i\in\mathbb{K}. Pela linearidade de T e pela propriedade dos e_i,
T(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i T(e_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \lambda e_i = \lambda \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i = \lambda x.
Assim T(x)=\lambda x para todo x\in V.

Passo 6

Conclusão final e comentário didático. Reunindo os casos: se V=\{0\} qualquer \lambda funciona; se \dim V\ge1 mostramos explicitamente que todos os vetores não-nulos compartilham o mesmo autovalor \lambda e, pela linearidade, T atua como multiplicação escalar por \lambda em todo V. Intuição: se todo vetor é autovetor, não há “direção” em que T possa agir de forma diferente — a única possibilidade linear é simplesmente esticar/contrair todas as direções pela mesma razão \lambda.

Resposta

Existe \lambda\in\mathbb{K} tal que T(v)=\lambda v para todo v\in V.

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