Calcule a integral tripla
 
onde 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular a integral de 
  sobre a região 
 , que é definida por 
 .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas e análise de simetria.
O que vamos precisar: Entender como configurar a integral tripla, identificar os limites de integração e aproveitar a simetria da região para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região 
 . Temos que 
  está entre duas superfícies:
- Superfície inferior: 
 - Superfície superior: 
 
Para visualizar, a superfície inferior é um paraboloide que se abre para cima, e a superior é um paraboloide que se abre para baixo. A região 
  é o espaço entre essas duas superfícies.
Passo 3
Agora, vamos analisar o integrando 
 . Notamos que o termo 
  é ímpar em relação a 
  e a 
 , o que significa que se refletirmos sobre o eixo 
  ou 
 , o sinal do termo muda.
Como a região 
  é simétrica em relação aos eixos 
  e 
  (pois é definida apenas por 
 ), isso implica que para cada ponto 
  em 
 , o ponto 
  e 
  também estão em 
 .
Passo 4
Devido à simetria mencionada, quando integrarmos uma função ímpar como 
  sobre uma região simétrica em 
  e 
 , as contribuições positivas e negativas vão se cancelar.
Ou seja:
Resposta
A integral tripla vale 
 .