Calcule a integral tripla.
, onde
SCA
SCA
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla da função
sobre a região
, onde:
Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de integrais triplas em coordenadas cartesianas, definindo os limites de integração para cada variável
,
e
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável com base na descrição da região
:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Passo 3
Escrevemos a integral tripla com os limites identificados:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A função a ser integrada é
. Como
e
são constantes em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Calculando a integral de
em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Agora, a integral tripla fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 7
A integral agora simplifica para:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Resposta
O valor da integral tripla é
.