Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral z^3 e^z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral z^3 e^z , dz usando a técnica de integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente a integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher as funções certas para u e dv que vão facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em integrais mais simples.

Passo 3

Agora, escolhemos u e dv. Seguindo a indicação do exercício, vamos deixar:
u = z^3 e dv = e^z , dz
Com isso, vamos precisar encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
du = ddz(z^3) , dz = 3z^2 , dz
v = integral e^z , dz = e^z
Agora temos tudo para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral z^3 e^z , dz = u , v - integral v , du = z^3 e^z - integral e^z cdot 3z^2 , dz
Simplificando:
integral z^3 e^z , dz = z^3 e^z - 3 integral z^2 e^z , dz
Agora, precisamos resolver a integral integral z^2 e^z , dz usando novamente integração por partes.

Passo 6

Escolhemos:
u = z^2 e dv = e^z , dz
Então:
du = 2z , dz
v = e^z
Aplicando a fórmula novamente:
integral z^2 e^z , dz = z^2 e^z - integral e^z cdot 2z , dz = z^2 e^z - 2 integral z e^z , dz

Passo 7

Agora, vamos resolver integral z e^z , dz usando integração por partes mais uma vez.
Escolhemos:
u = z e dv = e^z , dz
Então:
du = dz
v = e^z
Aplicando a fórmula:
integral z e^z , dz = z e^z - integral e^z , dz = z e^z - e^z

Passo 8

Voltando à etapa anterior:
integral z^2 e^z , dz = z^2 e^z - 2 (z e^z - e^z) = z^2 e^z - 2z e^z + 2 e^z

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral z^3 e^z , dz = z^3 e^z - 3 (z^2 e^z - 2z e^z + 2 e^z) = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6z e^z - 6 e^z

Resposta

Portanto, a integral é:
integral z^3 e^z , dz = e^z (z^3 - 3z^2 + 6z - 6) + C
onde C é a constante de integração.

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