Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral0^1 / 2 x cos pi x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de de 0 a . A gente vai usar integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de duas funções. Para isso, precisamos escolher qual parte será e qual será . No nosso caso, vamos seguir as escolhas indicadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar du = dx e v = integral cos(pi x) dx = sin(pi x)pi :
Agora, precisamos encontrar e . Para isso:
  • Derivamos para encontrar :
  • Integramos para encontrar : (Aqui usamos a integral de , que é )

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos(pi x) dx = x cdot sin(pi x)pi - integral sin(pi x)pi dx

Passo 4

Vamos simplificar a segunda integral:
integral sin(pi x)pi dx = 1pi integral sin(pi x) dx = 1pi cdot ( -cos(pi x)pi ) = -cos(pi x)pi^2
Então, a expressão fica:
integral x cos(pi x) dx = x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 ]0^1/2 :
12 sin(pi cdot 12)pi + cos(pi cdot 12)pi^2 = 12 cdot 1pi + 0pi^2 = 12pi
Calculando para 0 cdot sin(0)pi + cos(0)pi^2 = 0 + 1pi^2 :
E para :

Resposta

Subtraindo os valores:
12pi - 1pi^2 = pi - 22pi^2
Portanto, o valor da integral é:
pi - 22pi^2

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