Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de
de 0 a
. A gente vai usar integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de duas funções. Para isso, precisamos escolher qual parte será
e qual será
. No nosso caso, vamos seguir as escolhas indicadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
:
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso:
- Derivamos
para encontrar : - Integramos
para encontrar : (Aqui usamos a integral de , que é )
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a segunda integral:
Então, a expressão fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a
:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Portanto, o valor da integral é: