Calcule a integral usando integração por partes:
integral sec ^2 x ln (cos x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sec^2 x,ln(cos x),dx usando integração por partes. Vamos usar o método de integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u v - integral v,du. Também precisamos saber que a derivada de ln(cos x) é -tan x e que uma primitiva de sec^2 x é tan x.

Passo 2

Escolhemos u = ln(cos x) e dv = sec^2 x,dx. Então
texto com fórmula em bloco para du e v:
du = dl(ln(cos x)r) = -tan x,dx, v = integral sec^2 x,dx = tan x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral sec^2 x,ln(cos x),dx = u v - integral v,du = tan xln(cos x) - integral tan x l(-tan xr),dx = tan xln(cos x) + integral tan^2 x,dx

Passo 4

Para resolver integral tan^2 x,dx, usamos a identidade trigonométrica tan^2 x = sec^2 x - 1. Logo,
texto com fórmula em bloco para a integral de tan²:
integral tan^2 x,dx = integral (sec^2 x - 1),dx = integral sec^2 x,dx - integral 1,dx = tan x - x + C

Resposta

tan x,ln(cos x) + tan x - x + C

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