Use a Regra da Cadeia para derivar a função F: R R, definida por
F(x)=x arctg(x)-ln (1+x^2)2
Queremos agora seguir o processo inverso: antiderivar f(x)=arctg(x). Isto é, a partir de f, chegar a f(x)=arctg(x). A terminologia integrar também é usada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Regra da Cadeia para derivar a função $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivação de funções compostas usando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas de funções trigonométricas inversas e funções logarítmicas. Então, vamos partir para a resolução!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $. Para isso, vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo, $ x \arctg(x) $. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = x $ e $ v = \arctg(x) $.
A derivada de $ u = x $ é $ u’ = 1 $.
A derivada de $ v = \arctg(x) $ é $ v’ = \frac{1}{1 + x^{2}} $.
Então, aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo, $ -\frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $.
A constante $ -\frac{1}{2} $ fica na frente, então derivamos apenas $ \ln(1 + x^{2}) $. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = 1 + x^{2} $.
Derivando $ u = 1 + x^{2} $, temos $ u’ = 2x $.
Então,
-ln(1 + x^2)2
Multiplicando pela constante:
-12

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos dois termos:

Resposta

A derivada de $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $ é $ \arctg(x) $.

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