Use a Regra da Cadeia para derivar a função
, definida por
Queremos agora seguir o processo inverso: antiderivar
. Isto é, a partir de
, chegar a
. A terminologia integrar
também é usada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Regra da Cadeia para derivar a função $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivação de funções compostas usando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas de funções trigonométricas inversas e funções logarítmicas. Então, vamos partir para a resolução!
Passo 2
Primeiro, vamos derivar $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $. Para isso, vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo, $ x \arctg(x) $. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = x $ e $ v = \arctg(x) $.
A derivada de $ u = x $ é $ u’ = 1 $.
A derivada de $ v = \arctg(x) $ é $ v’ = \frac{1}{1 + x^{2}} $.
Então, aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo, $ -\frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $.
A constante $ -\frac{1}{2} $ fica na frente, então derivamos apenas $ \ln(1 + x^{2}) $. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = 1 + x^{2} $.
Derivando $ u = 1 + x^{2} $, temos $ u’ = 2x $.
Então,
Multiplicando pela constante:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
Resposta
A derivada de $ F(x) = x \arctg(x) - \frac{\ln(1 + x^{2})}{2} $ é $ \arctg(x) $.