Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{\sqrt{4-3 y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{\sqrt{4-3y}}\,dy
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos primeiro encontrar uma primitiva de f(y)=y^{2}(4-3y)^{-1/2} por substituição, e depois avaliar nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - 3y,
logo
du = -3\,dy \quad\Longrightarrow\quad dy = -\frac{du}{3}.
Também escrevemos y em função de u:
y = \frac{4 - u}{3}.
Quando y=0, u=4. Quando y=1, u=1.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{\sqrt{4-3y}}\,dy = \int_{u=4}^{u=1} \frac{\bigl(\tfrac{4-u}{3}\bigr)^{2}}{\sqrt{u}} \bigl(-\tfrac{du}{3}\bigr) = -\frac{1}{27}\int_{4}^{1}(4-u)^{2}\,u^{-\tfrac12}\,du.
Invertemos os limites para eliminar o sinal:
-\frac{1}{27}\int_{4}^{1}(4-u)^{2}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{27}\int_{1}^{4}(4-u)^{2}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Expandimos (4-u)^{2}=u^{2}-8u+16 e reescrevemos a integral como soma de potências de u:
\frac{1}{27}\int_{1}^{4}(u^{2}-8u+16)\,u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{27}\int_{1}^{4}\bigl(u^{\tfrac32}-8u^{\tfrac12}+16u^{-\tfrac12}\bigr)\,du.
Agora aplicamos a regra de potências:
\int u^{\tfrac32}\,du = \tfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}},\quad \int u^{\tfrac12}\,du = \tfrac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}},\quad \int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12}.
Assim a primitiva é
F(u) =\frac{1}{27}\Bigl[ \tfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} -8\cdot\tfrac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}} +16\cdot 2\,u^{\tfrac12} \Bigr] =\frac{1}{27}\Bigl[ \tfrac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} -\tfrac{16}{3}u^{\tfrac{3}{2}} +32\,u^{\tfrac12} \Bigr].

Passo 5

Avaliamo de u=1 a u=4. Para u=4:
u^{\tfrac12}=2,\quad u^{\tfrac{3}{2}}=8,\quad u^{\tfrac{5}{2}}=32,
então
F(4) =\frac{1}{27}\Bigl[\tfrac{2}{5}\cdot 32 -\tfrac{16}{3}\cdot 8 +32\cdot 2\Bigr] =\frac{1}{27}\cdot\frac{512}{15} =\frac{512}{405}.
Para u=1:
F(1) =\frac{1}{27}\Bigl[\tfrac{2}{5} -\tfrac{16}{3} +32\Bigr] =\frac{1}{27}\cdot\frac{406}{15} =\frac{406}{405}.
A diferença é
F(4)-F(1) =\frac{512}{405}-\frac{406}{405} =\frac{106}{405}.

Resposta

\displaystyle \frac{106}{405}

Exercícios relacionados