A probabilidade de que uma pessoa se lembre entre a \% e b \% do material aprendido em um experimento é
P_{a, b}=\int_{a}^{b} \frac{15}{4} x \sqrt{1-x} d x
onde x representa o percentual lembrado.
(a) Para um indivíduo escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele se lembre entre 50 \% e 75 \% do material?
(b) Qual é o percentual de lembrança médio? Isto é, para qual valor de b é verdade que a probabilidade de lembrar entre 0 e b seja 0,5 .

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade para a fração x do material lembrado, valendo
f(x)=\frac{15}{4}\,x\sqrt{1-x},\quad 0\le x\le1.
(a) pede P(0{,}5\le X\le0{,}75)=\displaystyle\int_{0{,}5}^{0{,}75}f(x)\,dx.
(b) pede o valor b tal que
P(0\le X\le b)=\int_{0}^{b}f(x)\,dx=0{,}5,
isto é, a mediana da distribuição.

Passo 2

Para integrar
\int x\sqrt{1-x}\,dx
use a substituição u=1-x, logo x=1-u e dx=-du. Então
\int x\sqrt{1-x}\,dx =\int(1-u)\,u^{1/2}(-du) =-\int\bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)du =-\frac{2}{3}u^{3/2}+\frac{2}{5}u^{5/2}+C.
Multiplicando por \tfrac{15}{4} obtemos a antiderivada
G(x) =\frac{15}{4}\int x\sqrt{1-x}\,dx =-\frac{5}{2}(1-x)^{3/2}+\frac{3}{2}(1-x)^{5/2}+C.

Passo 3

Para (a) avaliamos
P(0{,}5\le X\le0{,}75) =G(0{,}75)-G(0{,}5).
Calcule em x=0{,}75: 1-x=0{,}25, (1-x)^{3/2}=0{,}125, (1-x)^{5/2}=0{,}03125,
G(0{,}75) =-\tfrac{5}{2}(0{,}125)+\tfrac{3}{2}(0{,}03125) =-0{,}3125+0{,}046875 =-0{,}265625.
Em x=0{,}5: 1-x=0{,}5, (1-x)^{3/2}\approx0{,}353553, (1-x)^{5/2}\approx0{,}176777,
G(0{,}5) \approx -\tfrac{5}{2}(0{,}353553)+\tfrac{3}{2}(0{,}176777) \approx -0{,}6187178.
Logo
P(0{,}5\le X\le0{,}75) \approx -0{,}265625 -\bigl(-0{,}6187178\bigr) \approx 0{,}353093.

Passo 4

Para (b) definimos a função de distribuição
F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt =G(x)-G(0).
Como G(0) é obtido em x=0 com (1-x)=1, temos
G(0)=-\tfrac{5}{2}\cdot1+\tfrac{3}{2}\cdot1=-1.
Queremos F(b)=0{,}5, isto é
G(b)-(-1)=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad G(b)=-0{,}5.
Substituindo G(b) sem a constante C:
-\tfrac{5}{2}(1-b)^{3/2}+\tfrac{3}{2}(1-b)^{5/2}=-0{,}5.

Passo 5

Defina t=\sqrt{1-b}, então (1-b)^{3/2}=t^3 e (1-b)^{5/2}=t^5. A equação vira
-\frac{5}{2}t^3+\frac{3}{2}t^5=-\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 5t^3-3t^5=1 \quad\Longrightarrow\quad 3t^5-5t^3+1=0.
Resolvendo numericamente (por bissecção ou Newton) em 0<t<1 encontra-se
t\approx0{,}643,
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1-b=t^2\approx0{,}643^2\approx0{,}413 \quad\Longrightarrow\quad b\approx1-0{,}413=0{,}587.

Resposta

(a) P(50\%\le X\le75\%)\approx0{,}3531.
(b) O valor b que satisfaz P(0\le X\le b)=0,5 é aproximadamente b\approx0{,}587 (58,7 %).

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