Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{-3}^{3}\left(x^{2}-2 x-8\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int_{-3}^{3}\bigl(x^{2}-2x-8\bigr)\,dx
utilizando a definição de limite das somas de Riemann com pontos amostrais nos extremos direitos.
Vamos usar a formulação
S_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x,
e depois tomar \lim_{n\to\infty}S_{n}. Para isso, precisaremos dos resultados clássicos \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} e \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 2

Dividimos o intervalo [-3,3] em n subintervalos de igual comprimento
\Delta x = \frac{3 - (-3)}{n} = \frac{6}{n},
e tomamos como ponto amostral direito de cada subintervalo
x_{i} = -3 + i\,\Delta x,\quad i=1,2,\dots,n.
Então a soma de Riemann é
S_{n} = \sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}^{2}-2x_{i}-8\bigr)\,\Delta x.

Passo 3

Separamos a soma em três termos lineares em \Delta x:
S_{n} = \Delta x\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} \;-\;2\,\Delta x\sum_{i=1}^{n}x_{i} \;-\;8\,\Delta x\sum_{i=1}^{n}1.

Passo 4

Calculamos cada somatório:
  1. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}1 = n. 2. \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i} = \sum_{i=1}^{n}\bigl(-3 + i\,\Delta x\bigr) = -3n + \Delta x\sum_{i=1}^{n}i = -3n + \Delta x\,\frac{n(n+1)}{2}. 3. (\displaystyle \sum_{i=1}{n}x_{i}{2}
    = \sum_{i=1}^{n}\bigl(-3 + i,\Delta x\bigr)^{2}
= \sum_{i=1}^{n}\bigl(9 -6,i,\Delta x + i^{2},\Delta x^{2}\bigr)) = 9n \;-\;6\,\Delta x\sum_{i=1}^{n}i \;+\;\Delta x^{2}\sum_{i=1}^{n}i^{2} = 9n \;-\;6\,\Delta x\,\frac{n(n+1)}{2} \;+\;\Delta x^{2}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 5

Substituindo esses resultados em S_{n}:
S_{n} = \Delta x\Bigl[\,9n -6\,\Delta x\,\frac{n(n+1)}{2} + \Delta x^{2}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Bigr] \;-\;2\Delta x\Bigl[-3n + \Delta x\,\frac{n(n+1)}{2}\Bigr] \;-\;8\Delta x\,n.
Agrupando termos semelhantes obtém-se, após simplificação,
S_{n} = 7n\,\Delta x -4\,n(n+1)\,\Delta x^{2} +\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,\Delta x^{3}.

Passo 6

Agora substituímos \Delta x = \tfrac{6}{n} em cada termo:
7n\,\Delta x = 7n\cdot\frac{6}{n}=42,
-4\,n(n+1)\,\Delta x^{2} =-4\,n(n+1)\,\frac{36}{n^{2}} =-144\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr),
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,\Delta x^{3} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,\frac{216}{n^{3}} =36\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}} =72 + \frac{108}{n} + \frac{36}{n^{2}}.
Somando esses três termos:
S_{n} = 42 \;-\;144\bigl(1+\tfrac1n\bigr) \;+\;\Bigl(72 + \tfrac{108}{n} + \tfrac{36}{n^{2}}\Bigr) = -30 \;-\;\frac{36}{n} \;+\;\frac{36}{n^{2}}.
Fazendo n\to\infty, os termos em 1/n e 1/n^{2} vão a zero, ficando
\lim_{n\to\infty}S_{n} = -30.

Resposta

-30

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