Calcule a integral, utilizando a definição de limite das Somas de Riemann, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{0}^{5}\left(x^{3}-2 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{5}\bigl(x^{3}-2x^{2}\bigr)\,dx
usando a definição de soma de Riemann com pontos amostrais nos extremos direitos. Para isso vamos particionar o intervalo [0,5] em n subintervalos iguais, montar a soma de Riemann e depois passar ao limite quando n\to\infty.

Passo 2

Definimos o tamanho de cada subintervalo por
\Delta x = \frac{5}{n}
e os pontos amostrais (extremos direitos) por
x_i = i\,\Delta x,\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

Escrevemos a soma de Riemann associada:
S_n = \sum_{i=1}^{n}\bigl[(x_i)^3 - 2(x_i)^2\bigr]\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\bigl[(i\Delta x)^3 - 2(i\Delta x)^2\bigr]\,\Delta x.

Passo 4

Colocando em evidência as potências de \Delta x:
S_n = (\Delta x)^4\sum_{i=1}^n i^3 \;-\; 2\,(\Delta x)^3\sum_{i=1}^n i^2.
E usamos as fórmulas conhecidas
\sum_{i=1}^n i^3 = \Bigl(\frac{n(n+1)}{2}\Bigr)^2, \qquad \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 5

Substituindo \Delta x = 5/n e as somas:
(\Delta x)^4\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{5^4}{n^4}\,\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{625}{4}\Bigl(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr),
2\,(\Delta x)^3\sum_{i=1}^n i^2 = 2\,\frac{5^3}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{125}{3}\Bigl(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\Bigr).

Passo 6

Fazendo n\to\infty, os termos com 1/n e 1/n^2 desaparecem, então
\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{625}{4} \;-\;\frac{250}{3} = \frac{1875 - 1000}{12} = \frac{875}{12}.

Resposta

\frac{875}{12}

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