Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: calcular a integral
e verificar a resposta por diferenciação. - Informação dada: a função integranda é
. Nada mais foi dado (então vamos trabalhar com a simplificação algébrica e com primitiva geral, com constante de integração).
Passo 2
Simplificar a expressão usando identidade trigonométrica básica.
Lembrando a definição da tangente:
Então, onde tudo estiver definido, podemos escrever
Essa é uma divisão de frações; ao dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso. Assim
Se
, podemos cancelar
no numerador e denominador, obtendo
sempre lembrando que a igualdade vale somente nos pontos onde a expressão original está bem definida (ver observação de domínio no próximo passo).
Passo 3
Observação sobre domínio (muito importante na prova).
A expressão original
está mal definida nos pontos onde
não existe (i.e.
) e também onde
(i.e.
), porque nesses pontos ocorre divisão por zero ou forma indeterminada
. Em particular, a integranda não está definida em
Em intervalos abertos que não contêm esses pontos, a simplificação até
é válida. Portanto vamos integrar a função equivalente
em cada intervalo onde a integranda original existe.
Passo 4
Integrar a função simplificada.
Conhecimento básico: uma primitiva (antiderivada) de
é
, porque a derivada de
é
. Em notação:
Portanto, integrando,
onde
é a constante de integração. Lembre-se: esta primitiva vale em cada intervalo em que a integranda original está definida (ou seja, entre as descontinuidades em
).
Passo 5
Verificação por diferenciação (checar que a primitiva encontrada gera a integranda).
Tomemos
. Diferenciando:
E, pela simplificação feita no Passo 2, sabemos que, nos pontos onde a integranda original está definida,
Logo
coincide com a integranda, o que confirma que
é uma primitiva correta da integranda (em cada intervalo onde a expressão original existe).