Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y} d y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: calcular a integral \displaystyle \int \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y}\,dy e verificar a resposta por diferenciação.
  • Informação dada: a função integranda é \displaystyle \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y}. Nada mais foi dado (então vamos trabalhar com a simplificação algébrica e com primitiva geral, com constante de integração).

Passo 2

Simplificar a expressão usando identidade trigonométrica básica.
Lembrando a definição da tangente:
\operatorname{tg} y = \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{cos} y}.
Então, onde tudo estiver definido, podemos escrever
\frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y} = \frac{\operatorname{sen} y}{\dfrac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{cos} y}} .
Essa é uma divisão de frações; ao dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso. Assim
\frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y} = \operatorname{sen} y \cdot \frac{\operatorname{cos} y}{\operatorname{sen} y}.
Se \operatorname{sen} y\neq 0, podemos cancelar \operatorname{sen} y no numerador e denominador, obtendo
\frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y} = \operatorname{cos} y,
sempre lembrando que a igualdade vale somente nos pontos onde a expressão original está bem definida (ver observação de domínio no próximo passo).

Passo 3

Observação sobre domínio (muito importante na prova).
A expressão original \dfrac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y} está mal definida nos pontos onde \operatorname{tg} y não existe (i.e. \operatorname{cos} y=0) e também onde \operatorname{tg} y=0 (i.e. \operatorname{sen} y=0), porque nesses pontos ocorre divisão por zero ou forma indeterminada 0/0. Em particular, a integranda não está definida em
y = k\frac{\pi}{2}\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.
Em intervalos abertos que não contêm esses pontos, a simplificação até \operatorname{cos} y é válida. Portanto vamos integrar a função equivalente \operatorname{cos} y em cada intervalo onde a integranda original existe.

Passo 4

Integrar a função simplificada.
Conhecimento básico: uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{cos} y é \operatorname{sen} y, porque a derivada de \operatorname{sen} y é \operatorname{cos} y. Em notação:
\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen} y\big)=\operatorname{cos} y.
Portanto, integrando,
\int \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y}\,dy = \int \operatorname{cos} y\,dy = \operatorname{sen} y + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se: esta primitiva vale em cada intervalo em que a integranda original está definida (ou seja, entre as descontinuidades em y=k\frac{\pi}{2}).

Passo 5

Verificação por diferenciação (checar que a primitiva encontrada gera a integranda).
Tomemos F(y)=\operatorname{sen} y + C. Diferenciando:
F'(y)=\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen} y + C\big)=\operatorname{cos} y.
E, pela simplificação feita no Passo 2, sabemos que, nos pontos onde a integranda original está definida,
\frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{tg} y}=\operatorname{cos} y.
Logo F'(y) coincide com a integranda, o que confirma que F é uma primitiva correta da integranda (em cada intervalo onde a expressão original existe).

Resposta

\operatorname{sen} y + C

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