Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int \operatorname{cossec} x(\operatorname{sen} x+\operatorname{cotg} x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e verificar a resposta por diferenciação. A integral dada é
\int \operatorname{cossec} x(\operatorname{sen} x+\operatorname{cotg} x)\,dx.
Vou usar as notações trigonométricas em TeX: \csc x para \operatorname{cossec} x, \sin x para \operatorname{sen} x e \cot x para \operatorname{cotg} x. Então o integrando é
\csc x(\sin x+\cot x).

Passo 2

Primeiro simplifico o integrando multiplicando os termos:
\csc x(\sin x+\cot x)=\csc x\sin x+\csc x\cot x.
Como \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, tem-se \csc x\sin x=1. Portanto
\csc x(\sin x+\cot x)=1+\csc x\cot x.

Passo 3

Uso a linearidade da integral: para funções f e g vale \int(f+g)=\int f+\int g. Aplicando aqui,
\int\csc x(\sin x+\cot x)\,dx=\int 1\,dx+\int \csc x\cot x\,dx.

Passo 4

A integral de 1 é imediata:
\int 1\,dx = x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Vou somar as constantes no final.

Passo 5

Agora preciso calcular \int \csc x\cot x\,dx. Para isso uso a derivada de \csc x. Como \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, aplico a regra do quociente (ou escrevo diretamente):
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Reescrevendo -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} em termos de funções trigonométricas conhecidas:
-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\cot x\csc x.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\csc x\big) = -\csc x\cot x.
Isto implica que a primitiva de \csc x\cot x é -\csc x, pois derivando -\csc x volta-se a \csc x\cot x. Assim
\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C_2.

Passo 6

Somando as duas partes e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos a primitiva buscada:
\int \csc x(\sin x+\cot x)\,dx = x - \csc x + C.

Passo 7

Verificação por diferenciação: diferencio x-\csc x:
\frac{d}{dx}\big(x-\csc x\big)=1-\frac{d}{dx}(\csc x)=1-(-\csc x\cot x)=1+\csc x\cot x.
Como anteriormente mostrei que \csc x(\sin x+\cot x)=1+\csc x\cot x, a derivada de x-\csc x coincide com o integrando original. Logo a verificação está feita.

Resposta

x-\csc x+C

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