Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral e verificar a resposta por diferenciação. A integral dada é
Vou usar as notações trigonométricas em TeX:
para
,
para
e
para
. Então o integrando é
Passo 2
Primeiro simplifico o integrando multiplicando os termos:
Como
, tem-se
. Portanto
Passo 3
Uso a linearidade da integral: para funções
e
vale
. Aplicando aqui,
Passo 4
A integral de
é imediata:
onde
é uma constante de integração. Vou somar as constantes no final.
Passo 5
Agora preciso calcular
. Para isso uso a derivada de
. Como
, aplico a regra do quociente (ou escrevo diretamente):
Reescrevendo
em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Portanto
Isto implica que a primitiva de
é
, pois derivando
volta-se a
. Assim
Passo 6
Somando as duas partes e juntando as constantes
e
numa única constante
, obtemos a primitiva buscada:
Passo 7
Verificação por diferenciação: diferencio
:
Como anteriormente mostrei que
, a derivada de
coincide com o integrando original. Logo a verificação está feita.