Calcule integral x e^x dx

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x e^x , dx. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv. A escolha de u e dv é importante para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aqui, escolhemos u = x porque sua derivada du = dx simplifica a expressão, e dv = e^x , dx porque a integral de e^x é bem conhecida.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx
A integral integral e^x , dx é igual a e^x, então:
integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x e^x , dx é:
integral x e^x , dx = e^x (x - 1) + C
onde C representa a constante de integração.

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