Calcule integralgamma F d r, onde F=x i+2 z k e gamma é a curva representada pelo segmento orientado de (1,-2,0) até (2,5,1).

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralgamma F cdot dr. O enunciado nos dá o campo vetorial F = x i + 2 z k e a curva gamma que vai do ponto (1, -2, 0) até (2, 5, 1). Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular o produto escalar do campo vetorial com o vetor diferencial da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva gamma. Como gamma é um segmento de reta entre os pontos (1, -2, 0) e (2, 5, 1), podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1:
r(t) = (1, -2, 0) + t cdot (2-1, 5-(-2), 1-0) = (1 + t, -2 + 7t, t)
Então, temos:
x(t) = 1 + t, y(t) = -2 + 7t, z(t) = t

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor derivada drdt, que representa o vetor diferencial dr:
drdt = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 7, 1)

Passo 4

Substituímos a parametrização da curva na função F:
F(r(t)) = x(t) i + 2 z(t) k = (1 + t) i + 2t k

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt:
F cdot drdt = (1 + t) cdot 1 + 0 cdot 7 + 2t cdot 1 = 1 + t + 2t = 1 + 3t

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a t de 0 a 1:
integralgamma F cdot dr = integral0^1 (1 + 3t) , dt = [ t + 32 t^2 ]0^1 = (1 + 32) - (0 + 0) = 52

Resposta

A integral integralgamma F cdot dr é igual a 52.

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