Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
f(x) = x * raiz(x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os pontos de máximo e mínimo da função . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas extremidades da função. Vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes e multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Identificando e :
Agora, vamos calcular as derivadas de e :
Para , usamos a regra da potência:

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Substituindo:
Vamos simplificar:
Para facilitar, podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador:

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir máximos ou mínimos), vamos resolver :
O numerador deve ser zero:
Além disso, precisamos verificar onde a derivada não está definida. A derivada não existe quando , ou seja, quando :
Então, temos dois pontos a considerar: e .

Passo 6

Vamos analisar cada ponto:
  1. Para :
    Vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo usando o teste da derivada.
    Vamos escolher valores próximos a :
    • Para (já que a função está definida para ):
      não está definido.
    • Para :
    A derivada passa de indefinida para positiva, indicando que é um ponto de mínimo.
  2. Para :
    Neste ponto, a função atinge o limite inferior do domínio. Vamos calcular :
    Este é um ponto de mínimo também.

Resposta

A função apresenta um ponto de mínimo em e, no limite inferior do seu domínio em , a função também atinge um mínimo com valor . Não há pontos de máximo.

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