Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas extremidades da função. Vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes e multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Identificando
e
:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
Para
, usamos a regra da potência:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo:
Vamos simplificar:
Para facilitar, podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir máximos ou mínimos), vamos resolver
:
O numerador deve ser zero:
Além disso, precisamos verificar onde a derivada não está definida. A derivada não existe quando
, ou seja, quando
:
Então, temos dois pontos a considerar:
e
.
Passo 6
Vamos analisar cada ponto:
-
Para
:
Vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo usando o teste da derivada.Vamos escolher valores próximos a: - Para
(já que a função está definida para ):
não está definido. - Para
:
A derivada passa de indefinida para positiva, indicando queé um ponto de mínimo. - Para
-
Para
:
Neste ponto, a função atinge o limite inferior do domínio. Vamos calcular: Este é um ponto de mínimo também.
Resposta
A função
apresenta um ponto de mínimo em
e, no limite inferior do seu domínio em
, a função também atinge um mínimo com valor
. Não há pontos de máximo.