Calcule
, onde
é a curva representada pelo círculo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha
, onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a área interna dessa curva. Isso é super útil porque, às vezes, é mais fácil calcular a área do que seguir a curva.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
na nossa integral. Na expressão
, temos:
Passo 4
Agora, segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida na seguinte integral dupla:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla
, onde
é a região dentro do círculo
.
Por simetria, ao integrar
e
sobre um círculo centrado na origem, ambos os termos vão se cancelar porque para cada ponto
, existe um ponto
que anula a contribuição.
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.