Calcule a menor área de um triangulo retângulo cujo catetos tem medidas x e x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor área de um triângulo retângulo onde os catetos medem e . Isso envolve conhecimentos de geometria, especificamente sobre áreas de triângulos retângulos e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
Á
Aqui, os catetos e são a base e a altura.

Passo 3

Vamos expressar a área em função de :
Á

Passo 4

Agora, para encontrar a menor área, precisamos analisar essa função. Observamos que é uma função quadrática na forma:
Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima, o que significa que o valor mínimo ocorre no vértice da parábola.

Passo 5

A coordenada do vértice de uma parábola é dada por:
No nosso caso, e . Então:

Passo 6

Mas aqui temos um problema: representa um comprimento, então não pode ser negativo. Isso significa que a função não tem um mínimo verdadeiro para ; na verdade, a área diminui à medida que se aproxima de 0.

Resposta

A menor área ocorre quando se aproxima de 0, fazendo com que a área do triângulo retângulo também se aproxime de 0.

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