Calcule.
\int\left(\sqrt[3]{t^{2}}-\operatorname{sen} t\right) d t

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida
\int\bigl(\sqrt[3]{t^{2}} \;-\;\operatorname{sen}t\bigr)\,dt.
O conteúdo envolvido é a integração de uma potência de t e a primitiva de \sin t. Vamos usar a regra
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C
e o fato de que
\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.

Passo 2

Reescrevemos o radical como potência:
\sqrt[3]{t^{2}} = (t^{2})^{\tfrac13} = t^{\tfrac23}.
Assim a integral fica
\int\bigl(t^{\tfrac23} - \operatorname{sen}t\bigr)\,dt.

Passo 3

Integramos a primeira parcela usando a regra da potência com n=\tfrac23:
\int t^{\tfrac23}\,dt = \frac{t^{\tfrac23+1}}{\tfrac23+1} = \frac{t^{\tfrac53}}{\tfrac53} = \frac{3}{5}\,t^{\tfrac53}.

Passo 4

Integramos a segunda parcela sabendo que
\frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t,
logo
\int\bigl(-\operatorname{sen}t\bigr)\,dt = \cos t.

Passo 5

Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(t^{\tfrac23} - \operatorname{sen}t\bigr)\,dt = \frac{3}{5}\,t^{\tfrac53} + \cos t + C.

Resposta

\frac{3}{5}\,t^{\tfrac53} + \cos t + C

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