Calcule.
\int\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo é integração de funções algébricas simples: vamos expandir o quadrado, obter potências de x e integrar termo a termo.

Passo 2

Expandimos o integrando usando (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}:
\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2} - 2\cdot x\cdot \tfrac{1}{x} + \bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2} - 2 + x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int (-2)\,dx = -2x, \quad \int x^{-2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} - 2x - x^{-1} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C

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