Calcule a inversa da matriz A=\left[\begin{array}{rrr}-5 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 7 & -6 & 5\end{array}\right] e a seguir calcule \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 1\\\\ 3 & -1& 0\\\\ 7 & -6& 5 \end{pmatrix}
e em seguida o cálculo de \det(A) e de \det\bigl(A^{-1}\bigr). Vamos usar o método de adjunta (cofatores) para achar A^{-1} e a regra de Sarrus (ou expansão por cofatores) para o determinante.

Passo 2

Calcular \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) = -5\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ -6&5\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 7&5\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}3&-1\\\ 7&-6\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ -6&5\end{pmatrix} = -1\cdot5 - 0\cdot(-6) = -5,
\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 7&5\end{pmatrix} = 3\cdot5 - 0\cdot7 = 15,
\det\begin{pmatrix}3&-1\\\ 7&-6\end{pmatrix} = 3\cdot(-6) - (-1)\cdot7 = -18 + 7 = -11.
Logo
\det(A) = -5\cdot(-5) -1\cdot15 +1\cdot(-11) = 25 -15 -11 = -1.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores C. Para cada entrada c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de ordem 2 que sobra ao riscar a linha i e a coluna j. Os resultados são:
C = \begin{pmatrix} -5 & -15 & -11\\\\ -11 & -32 & -23\\\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -5 & -11 & 1\\\\ -15 & -32 & 3\\\\ -11 & -23 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como \det(A) = -1, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -1\cdot \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & 11 & -1\\\\ 15 & 32 & -3\\\\ 11 & 23 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usamos a propriedade
\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det(A)}
portanto
\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{-1} = -1.

Resposta

A inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 11 & -1\\\\ 15 & 32 & -3\\\\ 11 & 23 & -2 \end{pmatrix}, \det(A) = -1 e \det\bigl(A^{-1}\bigr) = -1.

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