Se A=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\\\ 5 & 2 & 0 \\\\ 7 & b & 3\end{array}\right] e A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}-6 & c & 2 \\\\ 15 & -2 & -5 \\\ d & -3 & -6\end{array}\right], obtenha a, b, c, d calculando A A^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1\\\\ 5 & 2 & 0\\\\ 7 & b & 3 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A^{-1} = \begin{pmatrix} -6 & c & 2\\\\ 15 & -2 & -5\\\ d & -3 & -6 \end{pmatrix},
e pede para achar a,b,c,d usando a propriedade
A\,A^{-1} = I_3.
Para isso vamos multiplicar A por A^{-1} e igualar cada entrada ao correspondente de I_3.

Passo 2

Calculemos a entrada (1,3) de A\,A^{-1}. Tomando a primeira linha de A e a terceira coluna de A^{-1}, temos
(1,3)\!: \;a\cdot2 \;+\;0\cdot(-5)\;+\;1\cdot(-6)\;=\;2a - 6.
Como essa é uma posição fora da diagonal principal, deve dar zero em I_3. Logo
2a - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.

Passo 3

Agora a entrada (1,2) de A\,A^{-1} é
(1,2)\!: \;a\cdot c \;+\;0\cdot(-2)\;+\;1\cdot(-3)\;=\;ac - 3.
Também fora da diagonal principal, vale zero em I_3. Como já sabemos a=3,
3c - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.

Passo 4

Para a entrada (1,1), que deve ser 1 em I_3, temos
(1,1)\!: \;a\cdot(-6)\;+\;0\cdot15\;+\;1\cdot d\;=\;-6a + d.
Igualando a 1 e usando a=3,
-6\cdot3 + d = 1 \quad\Longrightarrow\quad -18 + d = 1 \quad\Longrightarrow\quad d = 19.

Passo 5

Por fim, use a entrada (3,1), que deve ser zero em I_3. Multiplicando a terceira linha de A pela primeira coluna de A^{-1}:
(3,1)\!: \;7\cdot(-6)\;+\;b\cdot15\;+\;3\cdot d \;=\;-42 + 15b + 3d.
Igual a zero e substituindo d=19:
-42 + 15b + 3\cdot19 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -42 + 15b + 57 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 15b + 15 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.

Resposta

a =3
b = -1
c =1
d =19

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