Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
(15) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 5 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix},
quando existir.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • A matriz é A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix}.
  • A tarefa: encontrar A^{-1} se ela existir.]

Passo 2

Fórmula e ideia que vou usar (explicação didática): para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a inversa existe se, e somente se, o determinante \det(M)=ad-bc for diferente de zero. Nesse caso a fórmula fechada é
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
O que cada coisa significa:
  • a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições usuais.
  • ad-bc é o determinante; intuitivamente ele mede se as linhas (ou colunas) são linearmente independentes: se for zero, não existe inversa.
  • A matriz \begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} é a matriz adjunta (mais precisamente a adjunta transposta dos cofatores) para o caso 2\times2.
    Essa fórmula é rápida e muito prática na prova para matrizes 2\times2. Vou aplicá-la ao nosso caso.]

Passo 3

Identificar a,b,c,d na matriz A:
a=2,\qquad b=1,\qquad c=5,\qquad d=3.
Calcular o determinante \det(A)=ad-bc:
\det(A)=2\cdot 3 - 1\cdot 5 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que a inversa existe. Pequeno comentário útil para a prova: quando o determinante é 1 (ou -1), a inversa costuma ficar com entradas inteiras simples, o que facilita cálculos sem calculadora.

Passo 4

Construir a matriz de cofatores transposta (aquela que aparece na fórmula): trocar a e d e mudar sinal de b e c:
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, isso simplifica para
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação (útil para ganhar confiança na resposta; bom hábito em prova): calcular A\cdot A^{-1} e mostrar que dá a identidade.
Calculemos produto:
A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix}.
Entradas:
\begin{aligned} \text{(1,1)}&=2\cdot 3 + 1\cdot(-5)=6-5=1,\\[4pt] \text{(1,2)}&=2\cdot(-1) + 1\cdot 2 = -2+2=0,\\[4pt] \text{(2,1)}&=5\cdot 3 + 3\cdot(-5)=15-15=0,\\[4pt] \text{(2,2)}&=5\cdot(-1) + 3\cdot 2 = -5+6=1. \end{aligned}
Portanto
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, deu a matriz identidade, confirmando que a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix}]

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