a,b,c,d são os elementos da matriz nas posições usuais.
ad-bc é o determinante; intuitivamente ele mede se as linhas (ou colunas) são linearmente independentes: se for zero, não existe inversa.
A matriz \begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} é a matriz adjunta (mais precisamente a adjunta transposta dos cofatores) para o caso 2\times2.
Essa fórmula é rápida e muito prática na prova para matrizes 2\times2. Vou aplicá-la ao nosso caso.]
Passo 3
Identificar a,b,c,d na matriz A:
a=2,\qquad b=1,\qquad c=5,\qquad d=3.
Calcular o determinante \det(A)=ad-bc:
\det(A)=2\cdot 3 - 1\cdot 5 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que a inversa existe. Pequeno comentário útil para a prova: quando o determinante é 1 (ou -1), a inversa costuma ficar com entradas inteiras simples, o que facilita cálculos sem calculadora.
Passo 4
Construir a matriz de cofatores transposta (aquela que aparece na fórmula): trocar a e d e mudar sinal de b e c: