Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(14) \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -4 & 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 & 0 \\\\ 2 & 5 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -4 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Informações dadas relevantes:
  • A é uma matriz quadrada de ordem 4.
  • Os elementos da matriz são os números explícitos indicados acima.
  • O que se quer é o valor numérico de \det(A).]

Passo 2

Vamos ver uma propriedade prática que facilita muito: se uma linha (ou coluna) tem vários zeros, dá para usar a expansão de Laplace ao longo dessa linha (ou coluna) e minimizar o trabalho. Aqui a primeira linha de A tem só um elemento não nulo, que é a_{11}=1. A expansão de Laplace ao longo da primeira linha diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} (-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}),
onde M_{1j} é a menor obtida tirando a linha 1 e a coluna j. Como a_{12}=a_{13}=a_{14}=0, só sobra o termo com j=1. Portanto
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})=1\cdot\det(M_{11}).

Passo 3

Escrevendo explicitamente a menor M_{11} (removendo a linha 1 e a coluna 1 de A) obtemos a matriz 3\times3
M_{11}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 0\\[4pt] 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto
\det(A)=\det\!\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 0\\[4pt] 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculemos \det(M_{11}). Note que a primeira linha de M_{11} também tem só um elemento não nulo, 2 na posição (1,1). Expandindo de novo ao longo da primeira linha:
\det(M_{11})=2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Essa 2\times2 menor é simples de calcular: para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale \det=\,ad-bc. Aplicando,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-0\cdot2=6.
Logo
\det(M_{11})=2\cdot6=12.]

Passo 5

Voltando para \det(A), lembramos que \det(A)=1\cdot\det(M_{11}). Portanto
\det(A)=1\cdot12=12.

Resposta

\,12

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