Calcule a inversa das seguintes funções:
f(x)=3 x^{3}+4

Passo 1

O enunciado fornece a função f definida por
f(x)=3x^{3}+4.
O que se pede: encontrar a função inversa f^{-1}, isto é, a função que toma um valor de saída de f e devolve o x original tal que f(x) era esse valor.
Informações dadas importantes:
  • A fórmula explícita de f é f(x)=3x^{3}+4.
  • Não há restrição explícita de domínio, então assumir f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é natural (funções polinomiais estão definidas para todos os reais).

Passo 2

Antes de tentar achar a fórmula inversa, preciso garantir que f é invertível (ou seja, injetora). Uma forma simples de ver isso é observar o comportamento de x^3:
  • A função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R} (para a<b vale a^{3}<b^{3}).
  • Multiplicar por 3>0 preserva a ordem, e somar 4 apenas desloca verticalmente a curva.
    Logo f(x)=3x^{3}+4 é estritamente crescente em \mathbb{R} e, portanto, injetora. Como é polinomial com grau ímpar e coeficiente líder positivo, sua imagem é todo \mathbb{R}, então é também sobrejetora em \mathbb{R}. Conclusão: f tem inversa definida em \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos achar a expressão algébrica da inversa. O procedimento padrão é: escrever y=f(x) e resolver essa igualdade para x em função de y.
Começo com
y=3x^{3}+4.

Passo 4

Isolar x passo a passo:
Primeiro subtrai 4 dos dois lados:
y-4=3x^{3}.
Agora divide por 3:
\frac{y-4}{3}=x^{3}.
Finalmente, aplico a raiz cúbica (operador inverso da função cúbica). A raiz cúbica é definida para todos os reais e satisfaz \sqrt[3]{t^{3}}=t para todo t\in\mathbb{R}. Assim
x=\sqrt[3]{\frac{y-4}{3}}.

Passo 5

Troco o papel da variável y pela variável convencional de entrada da inversa (usualmente x). A expressão da inversa fica:
f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-4}{3}}.
Também é possível escrever usando potência fracionária:
f^{-1}(x)=\left(\frac{x-4}{3}\right)^{\!1/3}.

Passo 6

Domínio e contradomínio da inversa:
  • Como a imagem de f é \mathbb{R}, o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}.
  • A imagem de f^{-1} é o domínio original de f, isto é, \mathbb{R}.
    Logo f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida por composição (confirmação de que a fórmula está correta):
Calculo f(f^{-1}(x)):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=3\left(\sqrt[3]{\frac{x-4}{3}}\right)^{3}+4=3\cdot\frac{x-4}{3}+4=x-4+4=x.
E f^{-1}(f(x)):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt[3]{\frac{3x^{3}+4-4}{3}}=\sqrt[3]{\frac{3x^{3}}{3}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x.
Como as duas composições retornam x, a fórmula está correta.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x-4}{3}}.

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