Calcule a inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
O que se pede: encontrar a função inversa
, isto é, a função que toma um valor de saída de
e devolve o
original tal que
era esse valor.
Informações dadas importantes:
- A fórmula explícita de
é . - Não há restrição explícita de domínio, então assumir
é natural (funções polinomiais estão definidas para todos os reais).
Passo 2
Antes de tentar achar a fórmula inversa, preciso garantir que
é invertível (ou seja, injetora). Uma forma simples de ver isso é observar o comportamento de
:
- A função
é estritamente crescente em (para vale ). - Multiplicar por
preserva a ordem, e somar apenas desloca verticalmente a curva.
Logoé estritamente crescente em e, portanto, injetora. Como é polinomial com grau ímpar e coeficiente líder positivo, sua imagem é todo , então é também sobrejetora em . Conclusão: tem inversa definida em .
Passo 3
Agora vamos achar a expressão algébrica da inversa. O procedimento padrão é: escrever
e resolver essa igualdade para
em função de
.
Começo com
Passo 4
Isolar
passo a passo:
Primeiro subtrai dos dois lados:
Primeiro subtrai
Agora divide por
:
Finalmente, aplico a raiz cúbica (operador inverso da função cúbica). A raiz cúbica é definida para todos os reais e satisfaz
para todo
. Assim
Passo 5
Troco o papel da variável
pela variável convencional de entrada da inversa (usualmente
). A expressão da inversa fica:
Também é possível escrever usando potência fracionária:
Passo 6
Domínio e contradomínio da inversa:
- Como a imagem de
é , o domínio de é . - A imagem de
é o domínio original de , isto é, .
Logo.
Passo 7
Verificação rápida por composição (confirmação de que a fórmula está correta):
Calculo :
Calculo
E
:
Como as duas composições retornam
, a fórmula está correta.