Calcule a ionização percentual do ácido hidrazóico, \mathrm{HN}_{3}, nas soluções cujas concentrações sejam: ( \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=2,24 \times 10^{-5} ).
0,10 \mathrm{M};

Passo 1

O enunciado pede: calcular a ionização percentual do ácido hidrazóico em uma solução de concentração inicial 0{,}10\\ \mathrm{M}, sabendo que a constante de acidez é \,K_a=2,24\times10^{-5}.\n
Informações dadas:
K_a = 2,24\times10^{-5},
c_0(\text{HN}_3)=0{,}10\\ \mathrm{M}.
A pergunta concreta é: qual a ionização percentual, ou seja, qual a porcentagem das moléculas de \mathrm{HN}_3 que se ionizam em \mathrm{H}^+ e \mathrm{N}_3^- em equilíbrio?

Passo 2

Conceito e modelo para resolver (aula curta): quando um ácido fraco \mathrm{HA} se ioniza,
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-.
A constante de acidez é definida como
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]},
onde:
  • [\mathrm{H}^+] é a concentração molar de íons hidrogênio no equilíbrio;
  • [\mathrm{A}^-] é a concentração molar da base conjugada no equilíbrio;
  • [\mathrm{HA}] é a concentração molar do ácido não ionizado no equilíbrio.\n
    A técnica prática é montar uma tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium). Vamos chamar de x a concentração de \mathrm{H}^+ formada pela ionização do ácido. A ionização percentual é definida por
\%\\ \text{ionização}=\frac{[\mathrm{H}^+]_{\text{eq}}}{c_0}\times100,çã
onde c_0 é a concentração inicial do ácido.

Passo 3

Montando a tabela ICE para \mathrm{HN}_3:
\mathrm{HN}_3 \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{N}_3^-
Inicial: [\mathrm{HN}_3]=c_0=0{,}10\\ \mathrm{M},\; [\mathrm{H}^+]=0,\;[\mathrm{N}_3^-]=0.\n
Variação: [\mathrm{HN}_3] diminui x, [\mathrm{H}^+] aumenta x, [\mathrm{N}_3^-] aumenta x.\n
Equilíbrio:
[\mathrm{HN}_3] = c_0 - x,\quad [\mathrm{H}^+] = x,\quad [\mathrm{N}_3^-]=x.

Passo 4

Escrevendo K_a com essas concentrações:
K_a=\frac{x\cdot x}{c_0 - x}=\frac{x^2}{c_0-x}.
Substituindo os valores conhecidos em TeX:
2{,}24\times10^{-5}=\frac{x^2}{0{,}10 - x}.
Esta é uma equação quadrática em x. Uma abordagem comum e prática em provas é usar a aproximação x\ll c_0 (ou seja, c_0-x\approx c_0) quando a ionização é pequena; nesse caso:
x\approx\sqrt{K_a\,c_0}.
Explico por que: se c_0-x\approx c_0 então \dfrac{x^2}{c_0-x}\approx\dfrac{x^2}{c_0}, de onde x^2\approx K_a c_0 e x\approx\sqrt{K_a c_0}.

Passo 5

Cálculo aproximado de x:
x\approx\sqrt{(2{,}24\times10^{-5})\cdot(0{,}10)}=\sqrt{2{,}24\times10^{-6}}.
Calculando a raiz:
x\approx1{,}497\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Agora calculamos a ionização percentual usando a definição:
\%\\ \text{ionização}=\frac{x}{c_0}\times100=\frac{1{,}497\times10^{-3}}{0{,}10}\times100.çã
Fazendo as contas:
\%\\ \text{ionização}\approx1{,}497\%.çã
Arredondando de forma prática (considerando algarismos significativos dos dados), podemos relatar como 1{,}50\% ou, com menos casas, 1{,}5\%. Vou manter três dígitos significativos: 1{,}50\%.

Passo 7

Verificação da validade da aproximação (checar se x\ll c_0): \dfrac{x}{c_0}=0{,}01497 que é 1{,}497\%, muito menor que 5\%. Regra prática: se x/c_0<5\%, a aproximação c_0-x\approx c_0 é boa. Logo a aproximação usada é válida e o resultado confiável.\n
Se quisermos, podemos resolver exatamente a equação quadrática para comparar. A equação é
x^2 + K_a x - K_a c_0 = 0,
cuja solução positiva é
x=\frac{-K_a+\sqrt{K_a^2+4K_a c_0}}{2}.
Substituindo os números daria x\approx1{,}486\times10^{-3}\\ \mathrm{M}, o que leva a \%\\ \text{ionização}\approx1{,}49\%çã. A diferença é muito pequena e confirma a validade da aproximação.

Resposta

1{,}50\%

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