Calcule a ionização percentual do ácido hidrazóico, \mathrm{HN}_{3}, nas soluções cujas concentrações sejam: ( \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=2,24 \times 10^{-5} ).
0,040 \mathrm{M.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a ionização percentual do ácido hidrazóico nas soluções de concentração 0,040\\ \mathrm{M}. Dados fornecidos:
K_a = 2,24\times10^{-5}
e concentração inicial do ácido \mathrm{HN_3}: 0,040\\ \mathrm{M}.
A pergunta única é: qual é a ionização percentual (em %) dessa solução?

Passo 2

Vou escrever a equação de ionização do ácido fraco e a expressão de K_a. A ionização é:
\mathrm{HN_3} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{N_3^-}
A constante de acidez definese por:
K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{N_3^-}]}{[\mathrm{HN_3}]}
Explico: K_a mede o quanto o ácido se dissocia; [\mathrm{H^+}] é a concentração de prótons em equilíbrio, [\mathrm{N_3^-}] a do ânion formado e [\mathrm{HN_3}] a do ácido que restou em equilíbrio.

Passo 3

Montamos a tabela ICE (Inicial — Variação — Equilíbrio). Chamo de C a concentração inicial do ácido ( C=0,040\\ \mathrm{M}) e de x a concentração de \mathrm{H^+} formada em equilíbrio.
\begin{array}{lccc} & \text{inicial} & \text{variação} & \text{equilíbrio} \\\ \mathrm{HN_3} & C & -x & C-x \\\ \mathrm{H^+} & 0 & +x & x \\\ \mathrm{N_3^-} & 0 & +x & x \end{array}çãí
Logo a expressão de K_a em função de x é:
K_a=\frac{x\cdot x}{C-x}=\frac{x^2}{C-x}

Passo 4

Substituo os valores numéricos e obtenho a equação em x:
2,24\times10^{-5}=\frac{x^2}{0,040-x}
Multiplicando ambos os lados por (0,040-x) e reorganizando, obtemos a equação quadrática:
x^2 + (2,24\times10^{-5})\,x - (2,24\times10^{-5}\times0,040)=0
ou seja
x^2 + 2,24\times10^{-5}\,x - 8,96\times10^{-7}=0

Passo 5

Resolvemos a quadrática pelo Fórmula de Bhaskara. Para
ax^2+bx+c=0
temos
x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
aqui a=1, b=2,24\times10^{-5}, c=-8,96\times10^{-7}. O discriminante é
\Delta = b^2-4ac = (2,24\times10^{-5})^2 - 4\cdot1\cdot(-8,96\times10^{-7})
Como c é negativo, isso vira soma:
\Delta = 5,0176\times10^{-10} + 3,584\times10^{-6} = 3,58450176\times10^{-6}
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}\approx 1,89327\times10^{-3}
Logo a solução fisicamente significativa (positiva) é
x=\frac{-2,24\times10^{-5} + 1,89327\times10^{-3}}{2}\approx 9,354\times10^{-4}\\ \mathrm{M}
Isso significa que em equilíbrio [\mathrm{H^+}]\approx 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Agora calculamos a ionização percentual: definição
\%\\ \text{ionização}=\frac{[\mathrm{H^+}]_{\text{eq}}}{[\mathrm{HA}]_{\text{inicial}}}\times100=\frac{x}{C}\times100çã
Substituindo:
\%\\ \text{ionização}=\frac{9,354\times10^{-4}}{0,040}\times100 \approx 2,34\\ \%çã
Bom verificar a aproximação comum x\approx\sqrt{K_a C}. Fazendo isso:
x\approx\sqrt{2,24\times10^{-5}\times0,040}=\sqrt{8,96\times10^{-7}}\approx9,47\times10^{-4}\\ \mathrm{M}
que daria \approx2,37\%. A diferença é pequena; a regra do 5% (verificar x/C) dá 0,0234=2,34\%, bem menor que 5%, então a aproximação está segura.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: montei ICE, usei K_a=\dfrac{x^2}{C-x}, resolvi a quadrática para x, e calculei \% ionização. Fica como resultado numérico preciso abaixo.

Resposta

2,34\\ \%

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