Calcule, justificando cada passagem: d/dx ((x^2+1)^3 * (x^2+2)^6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função em relação a x. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. A Regra do Produto é usada quando temos a derivada de um produto de duas funções, e a Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas, como no nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • Seja
  • E
Queremos encontrar a derivada de .

Passo 3

Aplicando a Regra do Produto, que nos diz que a derivada de é:
Então, agora precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) individualmente.

Passo 4

Vamos encontrar . Como , essa é uma função composta, então usamos a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos diz que se , então:
Aqui, e . Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Similarmente, . Aplicando a Regra da Cadeia novamente, onde e :

Passo 6

Agora que temos e , vamos usar a Regra do Produto para encontrar a derivada de y:

Passo 7

Podemos fatorar termos comuns para simplificar a expressão. Observamos que é um fator comum:
Simplificando dentro dos colchetes:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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