Resolva: 2 pontos (2x + 3y - 1) dx + (2x + 3y + 2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa questão envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que dependa apenas de ou apenas de .
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de . Então, temos:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Substituindo os valores:
Esse resultado é complicado porque dependeria de também. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 4

Assumindo que o fator integrante depende apenas de , temos:
Substituindo os valores:
Ainda assim, fica complicado encontrar uma solução, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observando que e têm termos semelhantes, podemos definir:
Diferenciando ambos os lados:
Rearranjando a equação original:
Substituindo :
Agrupando os termos com :
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos rearranjar para isolar :
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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