Calcule, justificando cada passagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de
. Esse exercício envolve cálculo de derivadas onde a função tem uma base e um expoente que dependem da variável
. Vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra da exponenciação com funções variáveis e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que seja mais fácil de derivar. Uma boa dica é usar logaritmos, pois eles transformam potências em multiplicações, o que simplifica a derivação. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: