Calcule, justificando cada passagem: d/dx (x^(sen(x)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de . Esse exercício envolve cálculo de derivadas onde a função tem uma base e um expoente que dependem da variável . Vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra da exponenciação com funções variáveis e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Uma boa dica é usar logaritmos, pois eles transformam potências em multiplicações, o que simplifica a derivação. Então, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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