Encontre uma função de duas ou três variáveis f, tal que F = nabla f : F(x, y) = 2xy^3 i + (1 + 3x^2y^2) j;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função de duas ou três variáveis tal que o campo vetorial seja igual ao gradiente de , ou seja, . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre gradientes e campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes do campo vetorial para descobrir qual é a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O gradiente de , , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. No nosso caso, como temos , podemos escrever:
Então, temos duas equações:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração em relação a pode adicionar uma “constante” que, nesse caso, pode variar com .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Diferenciamos em relação a e igualamos à segunda componente do campo vetorial:
Simplificando, temos:

Passo 5

Integrando em relação a , obtemos:
Onde é uma constante de integração. Como estamos procurando uma função potencial, podemos desconsiderar a constante.

Resposta

Portanto, a função que procuramos é:

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