Calcule k nas equações:
\left|\begin{array}{cc}2 k & k-2 \\\\ 4 k+5 & 3 k-1\end{array}\right|=0

Passo 1

Temos a matriz
\begin{pmatrix} 2k & k-2\\\\ 4k+5 & 3k-1 \end{pmatrix}
e a condição \det=0. O conteúdo é o cálculo de determinante de matriz 2\times2, que usa a fórmula \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

Passo 2

Aplicando a fórmula do determinante, escrevemos
(2k)(3k-1)\;-\;(k-2)(4k+5)\;=\;0.

Passo 3

Expandindo cada produto, temos
(2k)(3k-1)=6k^2-2k
e
(k-2)(4k+5)=4k^2+5k-8k-10=4k^2-3k-10.

Passo 4

Substituindo as expansões na equação do determinante:
6k^2-2k\;-\;(4k^2-3k-10)=0.

Passo 5

Distribuindo o sinal menos e coletando termos semelhantes:
6k^2-2k-4k^2+3k+10=0
2k^2+k+10=0.

Passo 6

Para resolver \,2k^2+k+10=0, usamos a fórmula de Bhaskara:
k=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot2\cdot10}}{2\cdot2} =\frac{-1\pm\sqrt{1-80}}{4} =\frac{-1\pm\sqrt{-79}}{4} =\frac{-1\pm i\sqrt{79}}{4}.

Resposta

k=\frac{-1\pm i\sqrt{79}}{4}.

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